Theorem nntri3or 5987

Description: Trichotomy for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3or	⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A))

Proof of Theorem nntri3or

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2083	. . . . 5 ⊢ (x = B → (A ∈ x ↔ A ∈ B))
2		eqeq2 2031	. . . . 5 ⊢ (x = B → (A = x ↔ A = B))
3		eleq1 2082	. . . . 5 ⊢ (x = B → (x ∈ A ↔ B ∈ A))
4	1, 2, 3	3orbi123d 1191	. . . 4 ⊢ (x = B → ((A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A) ↔ (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A)))
5	4	imbi2d 219	. . 3 ⊢ (x = B → ((A ∈ 𝜔 → (A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A)) ↔ (A ∈ 𝜔 → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A))))
6		eleq2 2083	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (A ∈ x ↔ A ∈ ∅))
7		eqeq2 2031	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (A = x ↔ A = ∅))
8		eleq1 2082	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (x ∈ A ↔ ∅ ∈ A))
9	6, 7, 8	3orbi123d 1191	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → ((A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A) ↔ (A ∈ ∅ ∨ A = ∅ ∨ ∅ ∈ A)))
10		eleq2 2083	. . . . 5 ⊢ (x = y → (A ∈ x ↔ A ∈ y))
11		eqeq2 2031	. . . . 5 ⊢ (x = y → (A = x ↔ A = y))
12		eleq1 2082	. . . . 5 ⊢ (x = y → (x ∈ A ↔ y ∈ A))
13	10, 11, 12	3orbi123d 1191	. . . 4 ⊢ (x = y → ((A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A) ↔ (A ∈ y ∨ A = y ∨ y ∈ A)))
14		eleq2 2083	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (A ∈ x ↔ A ∈ suc y))
15		eqeq2 2031	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (A = x ↔ A = suc y))
16		eleq1 2082	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (x ∈ A ↔ suc y ∈ A))
17	14, 15, 16	3orbi123d 1191	. . . 4 ⊢ (x = suc y → ((A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A) ↔ (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
18		0elnn 4267	. . . . 5 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (A = ∅ ∨ ∅ ∈ A))
19		olc 619	. . . . . 6 ⊢ ((A = ∅ ∨ ∅ ∈ A) → (A ∈ ∅ ∨ (A = ∅ ∨ ∅ ∈ A)))
20		3orass 876	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ∅ ∨ A = ∅ ∨ ∅ ∈ A) ↔ (A ∈ ∅ ∨ (A = ∅ ∨ ∅ ∈ A)))
21	19, 20	sylibr 137	. . . . 5 ⊢ ((A = ∅ ∨ ∅ ∈ A) → (A ∈ ∅ ∨ A = ∅ ∨ ∅ ∈ A))
22	18, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (A ∈ ∅ ∨ A = ∅ ∨ ∅ ∈ A))
23		df-3or 874	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ y ∨ A = y ∨ y ∈ A) ↔ ((A ∈ y ∨ A = y) ∨ y ∈ A))
24		elex 2543	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ 𝜔 → y ∈ V)
25		elsuc2g 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ V → (A ∈ suc y ↔ (A ∈ y ∨ A = y)))
26		3mix1 1061	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ suc y → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A))
27	25, 26	syl6bir 153	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ V → ((A ∈ y ∨ A = y) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
28	24, 27	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ 𝜔 → ((A ∈ y ∨ A = y) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
29		nnsucelsuc 5985	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (y ∈ A ↔ suc y ∈ suc A))
30		elsuci 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc y ∈ suc A → (suc y ∈ A ∨ suc y = A))
31	29, 30	syl6bi 152	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (y ∈ A → (suc y ∈ A ∨ suc y = A)))
32		eqcom 2024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc y = A ↔ A = suc y)
33	32	orbi2i 666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc y ∈ A ∨ suc y = A) ↔ (suc y ∈ A ∨ A = suc y))
34	33	biimpi 113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((suc y ∈ A ∨ suc y = A) → (suc y ∈ A ∨ A = suc y))
35	34	orcomd 635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc y ∈ A ∨ suc y = A) → (A = suc y ∨ suc y ∈ A))
36	35	olcd 640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc y ∈ A ∨ suc y = A) → (A ∈ suc y ∨ (A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
37		3orass 876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A) ↔ (A ∈ suc y ∨ (A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
38	36, 37	sylibr 137	. . . . . . . 8 ⊢ ((suc y ∈ A ∨ suc y = A) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A))
39	31, 38	syl6 29	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (y ∈ A → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
40	28, 39	jaao 626	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → (((A ∈ y ∨ A = y) ∨ y ∈ A) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
41	23, 40	syl5bi 141	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → ((A ∈ y ∨ A = y ∨ y ∈ A) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
42	41	ex 108	. . . 4 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (A ∈ 𝜔 → ((A ∈ y ∨ A = y ∨ y ∈ A) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A))))
43	9, 13, 17, 22, 42	finds2 4251	. . 3 ⊢ (x ∈ 𝜔 → (A ∈ 𝜔 → (A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A)))
44	5, 43	vtoclga 2596	. 2 ⊢ (B ∈ 𝜔 → (A ∈ 𝜔 → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A)))
45	44	impcom 116	1 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 616   ∨ w3o 872   = wceq 1228   ∈ wcel 1374  Vcvv 2535  ∅c0 3201  suc csuc 4051  𝜔com 4240

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-iinf 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-int 3590  df-tr 3829  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241

This theorem is referenced by:  nntri2  5988  nntri1  5989  nndceq  5990  nndcel  5991  nnawordex  6012  ltsopi  6180  pitri3or  6182