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Theorem nntri3or 6004
Description: Trichotomy for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri3or ((A 𝜔 B 𝜔) → (A B A = B B A))

Proof of Theorem nntri3or
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2098 . . . . 5 (x = B → (A xA B))
2 eqeq2 2046 . . . . 5 (x = B → (A = xA = B))
3 eleq1 2097 . . . . 5 (x = B → (x AB A))
41, 2, 33orbi123d 1205 . . . 4 (x = B → ((A x A = x x A) ↔ (A B A = B B A)))
54imbi2d 219 . . 3 (x = B → ((A 𝜔 → (A x A = x x A)) ↔ (A 𝜔 → (A B A = B B A))))
6 eleq2 2098 . . . . 5 (x = ∅ → (A xA ∅))
7 eqeq2 2046 . . . . 5 (x = ∅ → (A = xA = ∅))
8 eleq1 2097 . . . . 5 (x = ∅ → (x A ↔ ∅ A))
96, 7, 83orbi123d 1205 . . . 4 (x = ∅ → ((A x A = x x A) ↔ (A A = ∅ A)))
10 eleq2 2098 . . . . 5 (x = y → (A xA y))
11 eqeq2 2046 . . . . 5 (x = y → (A = xA = y))
12 eleq1 2097 . . . . 5 (x = y → (x Ay A))
1310, 11, 123orbi123d 1205 . . . 4 (x = y → ((A x A = x x A) ↔ (A y A = y y A)))
14 eleq2 2098 . . . . 5 (x = suc y → (A xA suc y))
15 eqeq2 2046 . . . . 5 (x = suc y → (A = xA = suc y))
16 eleq1 2097 . . . . 5 (x = suc y → (x A ↔ suc y A))
1714, 15, 163orbi123d 1205 . . . 4 (x = suc y → ((A x A = x x A) ↔ (A suc y A = suc y suc y A)))
18 0elnn 4282 . . . . 5 (A 𝜔 → (A = ∅ A))
19 olc 631 . . . . . 6 ((A = ∅ A) → (A (A = ∅ A)))
20 3orass 887 . . . . . 6 ((A A = ∅ A) ↔ (A (A = ∅ A)))
2119, 20sylibr 137 . . . . 5 ((A = ∅ A) → (A A = ∅ A))
2218, 21syl 14 . . . 4 (A 𝜔 → (A A = ∅ A))
23 df-3or 885 . . . . . 6 ((A y A = y y A) ↔ ((A y A = y) y A))
24 elex 2560 . . . . . . . 8 (y 𝜔 → y V)
25 elsuc2g 4107 . . . . . . . . 9 (y V → (A suc y ↔ (A y A = y)))
26 3mix1 1072 . . . . . . . . 9 (A suc y → (A suc y A = suc y suc y A))
2725, 26syl6bir 153 . . . . . . . 8 (y V → ((A y A = y) → (A suc y A = suc y suc y A)))
2824, 27syl 14 . . . . . . 7 (y 𝜔 → ((A y A = y) → (A suc y A = suc y suc y A)))
29 nnsucelsuc 6002 . . . . . . . . 9 (A 𝜔 → (y A ↔ suc y suc A))
30 elsuci 4105 . . . . . . . . 9 (suc y suc A → (suc y A suc y = A))
3129, 30syl6bi 152 . . . . . . . 8 (A 𝜔 → (y A → (suc y A suc y = A)))
32 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . 13 (suc y = AA = suc y)
3332orbi2i 678 . . . . . . . . . . . 12 ((suc y A suc y = A) ↔ (suc y A A = suc y))
3433biimpi 113 . . . . . . . . . . 11 ((suc y A suc y = A) → (suc y A A = suc y))
3534orcomd 647 . . . . . . . . . 10 ((suc y A suc y = A) → (A = suc y suc y A))
3635olcd 652 . . . . . . . . 9 ((suc y A suc y = A) → (A suc y (A = suc y suc y A)))
37 3orass 887 . . . . . . . . 9 ((A suc y A = suc y suc y A) ↔ (A suc y (A = suc y suc y A)))
3836, 37sylibr 137 . . . . . . . 8 ((suc y A suc y = A) → (A suc y A = suc y suc y A))
3931, 38syl6 29 . . . . . . 7 (A 𝜔 → (y A → (A suc y A = suc y suc y A)))
4028, 39jaao 638 . . . . . 6 ((y 𝜔 A 𝜔) → (((A y A = y) y A) → (A suc y A = suc y suc y A)))
4123, 40syl5bi 141 . . . . 5 ((y 𝜔 A 𝜔) → ((A y A = y y A) → (A suc y A = suc y suc y A)))
4241ex 108 . . . 4 (y 𝜔 → (A 𝜔 → ((A y A = y y A) → (A suc y A = suc y suc y A))))
439, 13, 17, 22, 42finds2 4266 . . 3 (x 𝜔 → (A 𝜔 → (A x A = x x A)))
445, 43vtoclga 2613 . 2 (B 𝜔 → (A 𝜔 → (A B A = B B A)))
4544impcom 116 1 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A B A = B B A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 628   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  c0 3218  suc csuc 4067  𝜔com 4255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-uni 3571  df-int 3606  df-tr 3845  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256
This theorem is referenced by:  nntri2  6005  nntri1  6006  nntri3  6007  nndceq  6008  nndcel  6009  nnawordex  6030  ltsopi  6297  pitri3or  6299  frec2uzlt2d  8817
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