Theorem nntri3or 6004

Description: Trichotomy for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3or	⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A))

Proof of Theorem nntri3or

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2098	. . . . 5 ⊢ (x = B → (A ∈ x ↔ A ∈ B))
2		eqeq2 2046	. . . . 5 ⊢ (x = B → (A = x ↔ A = B))
3		eleq1 2097	. . . . 5 ⊢ (x = B → (x ∈ A ↔ B ∈ A))
4	1, 2, 3	3orbi123d 1205	. . . 4 ⊢ (x = B → ((A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A) ↔ (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A)))
5	4	imbi2d 219	. . 3 ⊢ (x = B → ((A ∈ 𝜔 → (A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A)) ↔ (A ∈ 𝜔 → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A))))
6		eleq2 2098	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (A ∈ x ↔ A ∈ ∅))
7		eqeq2 2046	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (A = x ↔ A = ∅))
8		eleq1 2097	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (x ∈ A ↔ ∅ ∈ A))
9	6, 7, 8	3orbi123d 1205	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → ((A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A) ↔ (A ∈ ∅ ∨ A = ∅ ∨ ∅ ∈ A)))
10		eleq2 2098	. . . . 5 ⊢ (x = y → (A ∈ x ↔ A ∈ y))
11		eqeq2 2046	. . . . 5 ⊢ (x = y → (A = x ↔ A = y))
12		eleq1 2097	. . . . 5 ⊢ (x = y → (x ∈ A ↔ y ∈ A))
13	10, 11, 12	3orbi123d 1205	. . . 4 ⊢ (x = y → ((A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A) ↔ (A ∈ y ∨ A = y ∨ y ∈ A)))
14		eleq2 2098	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (A ∈ x ↔ A ∈ suc y))
15		eqeq2 2046	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (A = x ↔ A = suc y))
16		eleq1 2097	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (x ∈ A ↔ suc y ∈ A))
17	14, 15, 16	3orbi123d 1205	. . . 4 ⊢ (x = suc y → ((A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A) ↔ (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
18		0elnn 4282	. . . . 5 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (A = ∅ ∨ ∅ ∈ A))
19		olc 631	. . . . . 6 ⊢ ((A = ∅ ∨ ∅ ∈ A) → (A ∈ ∅ ∨ (A = ∅ ∨ ∅ ∈ A)))
20		3orass 887	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ∅ ∨ A = ∅ ∨ ∅ ∈ A) ↔ (A ∈ ∅ ∨ (A = ∅ ∨ ∅ ∈ A)))
21	19, 20	sylibr 137	. . . . 5 ⊢ ((A = ∅ ∨ ∅ ∈ A) → (A ∈ ∅ ∨ A = ∅ ∨ ∅ ∈ A))
22	18, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (A ∈ ∅ ∨ A = ∅ ∨ ∅ ∈ A))
23		df-3or 885	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ y ∨ A = y ∨ y ∈ A) ↔ ((A ∈ y ∨ A = y) ∨ y ∈ A))
24		elex 2560	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ 𝜔 → y ∈ V)
25		elsuc2g 4107	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ V → (A ∈ suc y ↔ (A ∈ y ∨ A = y)))
26		3mix1 1072	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ suc y → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A))
27	25, 26	syl6bir 153	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ V → ((A ∈ y ∨ A = y) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
28	24, 27	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ 𝜔 → ((A ∈ y ∨ A = y) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
29		nnsucelsuc 6002	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (y ∈ A ↔ suc y ∈ suc A))
30		elsuci 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc y ∈ suc A → (suc y ∈ A ∨ suc y = A))
31	29, 30	syl6bi 152	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (y ∈ A → (suc y ∈ A ∨ suc y = A)))
32		eqcom 2039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc y = A ↔ A = suc y)
33	32	orbi2i 678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc y ∈ A ∨ suc y = A) ↔ (suc y ∈ A ∨ A = suc y))
34	33	biimpi 113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((suc y ∈ A ∨ suc y = A) → (suc y ∈ A ∨ A = suc y))
35	34	orcomd 647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc y ∈ A ∨ suc y = A) → (A = suc y ∨ suc y ∈ A))
36	35	olcd 652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((suc y ∈ A ∨ suc y = A) → (A ∈ suc y ∨ (A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
37		3orass 887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A) ↔ (A ∈ suc y ∨ (A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
38	36, 37	sylibr 137	. . . . . . . 8 ⊢ ((suc y ∈ A ∨ suc y = A) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A))
39	31, 38	syl6 29	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ 𝜔 → (y ∈ A → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
40	28, 39	jaao 638	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → (((A ∈ y ∨ A = y) ∨ y ∈ A) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
41	23, 40	syl5bi 141	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ A ∈ 𝜔) → ((A ∈ y ∨ A = y ∨ y ∈ A) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A)))
42	41	ex 108	. . . 4 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (A ∈ 𝜔 → ((A ∈ y ∨ A = y ∨ y ∈ A) → (A ∈ suc y ∨ A = suc y ∨ suc y ∈ A))))
43	9, 13, 17, 22, 42	finds2 4266	. . 3 ⊢ (x ∈ 𝜔 → (A ∈ 𝜔 → (A ∈ x ∨ A = x ∨ x ∈ A)))
44	5, 43	vtoclga 2613	. 2 ⊢ (B ∈ 𝜔 → (A ∈ 𝜔 → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A)))
45	44	impcom 116	1 ⊢ ((A ∈ 𝜔 ∧ B ∈ 𝜔) → (A ∈ B ∨ A = B ∨ B ∈ A))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 628   ∨ w3o 883   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  ∅c0 3218  suc csuc 4067  𝜔com 4255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-iinf 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-uni 3571  df-int 3606  df-tr 3845  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256

This theorem is referenced by:  nntri2  6005  nntri1  6006  nntri3  6007  nndceq  6008  nndcel  6009  nnawordex  6030  ltsopi  6297  pitri3or  6299  frec2uzlt2d  8817