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Theorem nntri3or 5987
Description: Trichotomy for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri3or ((A 𝜔 B 𝜔) → (A B A = B B A))

Proof of Theorem nntri3or
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2083 . . . . 5 (x = B → (A xA B))
2 eqeq2 2031 . . . . 5 (x = B → (A = xA = B))
3 eleq1 2082 . . . . 5 (x = B → (x AB A))
41, 2, 33orbi123d 1191 . . . 4 (x = B → ((A x A = x x A) ↔ (A B A = B B A)))
54imbi2d 219 . . 3 (x = B → ((A 𝜔 → (A x A = x x A)) ↔ (A 𝜔 → (A B A = B B A))))
6 eleq2 2083 . . . . 5 (x = ∅ → (A xA ∅))
7 eqeq2 2031 . . . . 5 (x = ∅ → (A = xA = ∅))
8 eleq1 2082 . . . . 5 (x = ∅ → (x A ↔ ∅ A))
96, 7, 83orbi123d 1191 . . . 4 (x = ∅ → ((A x A = x x A) ↔ (A A = ∅ A)))
10 eleq2 2083 . . . . 5 (x = y → (A xA y))
11 eqeq2 2031 . . . . 5 (x = y → (A = xA = y))
12 eleq1 2082 . . . . 5 (x = y → (x Ay A))
1310, 11, 123orbi123d 1191 . . . 4 (x = y → ((A x A = x x A) ↔ (A y A = y y A)))
14 eleq2 2083 . . . . 5 (x = suc y → (A xA suc y))
15 eqeq2 2031 . . . . 5 (x = suc y → (A = xA = suc y))
16 eleq1 2082 . . . . 5 (x = suc y → (x A ↔ suc y A))
1714, 15, 163orbi123d 1191 . . . 4 (x = suc y → ((A x A = x x A) ↔ (A suc y A = suc y suc y A)))
18 0elnn 4267 . . . . 5 (A 𝜔 → (A = ∅ A))
19 olc 619 . . . . . 6 ((A = ∅ A) → (A (A = ∅ A)))
20 3orass 876 . . . . . 6 ((A A = ∅ A) ↔ (A (A = ∅ A)))
2119, 20sylibr 137 . . . . 5 ((A = ∅ A) → (A A = ∅ A))
2218, 21syl 14 . . . 4 (A 𝜔 → (A A = ∅ A))
23 df-3or 874 . . . . . 6 ((A y A = y y A) ↔ ((A y A = y) y A))
24 elex 2543 . . . . . . . 8 (y 𝜔 → y V)
25 elsuc2g 4091 . . . . . . . . 9 (y V → (A suc y ↔ (A y A = y)))
26 3mix1 1061 . . . . . . . . 9 (A suc y → (A suc y A = suc y suc y A))
2725, 26syl6bir 153 . . . . . . . 8 (y V → ((A y A = y) → (A suc y A = suc y suc y A)))
2824, 27syl 14 . . . . . . 7 (y 𝜔 → ((A y A = y) → (A suc y A = suc y suc y A)))
29 nnsucelsuc 5985 . . . . . . . . 9 (A 𝜔 → (y A ↔ suc y suc A))
30 elsuci 4089 . . . . . . . . 9 (suc y suc A → (suc y A suc y = A))
3129, 30syl6bi 152 . . . . . . . 8 (A 𝜔 → (y A → (suc y A suc y = A)))
32 eqcom 2024 . . . . . . . . . . . . 13 (suc y = AA = suc y)
3332orbi2i 666 . . . . . . . . . . . 12 ((suc y A suc y = A) ↔ (suc y A A = suc y))
3433biimpi 113 . . . . . . . . . . 11 ((suc y A suc y = A) → (suc y A A = suc y))
3534orcomd 635 . . . . . . . . . 10 ((suc y A suc y = A) → (A = suc y suc y A))
3635olcd 640 . . . . . . . . 9 ((suc y A suc y = A) → (A suc y (A = suc y suc y A)))
37 3orass 876 . . . . . . . . 9 ((A suc y A = suc y suc y A) ↔ (A suc y (A = suc y suc y A)))
3836, 37sylibr 137 . . . . . . . 8 ((suc y A suc y = A) → (A suc y A = suc y suc y A))
3931, 38syl6 29 . . . . . . 7 (A 𝜔 → (y A → (A suc y A = suc y suc y A)))
4028, 39jaao 626 . . . . . 6 ((y 𝜔 A 𝜔) → (((A y A = y) y A) → (A suc y A = suc y suc y A)))
4123, 40syl5bi 141 . . . . 5 ((y 𝜔 A 𝜔) → ((A y A = y y A) → (A suc y A = suc y suc y A)))
4241ex 108 . . . 4 (y 𝜔 → (A 𝜔 → ((A y A = y y A) → (A suc y A = suc y suc y A))))
439, 13, 17, 22, 42finds2 4251 . . 3 (x 𝜔 → (A 𝜔 → (A x A = x x A)))
445, 43vtoclga 2596 . 2 (B 𝜔 → (A 𝜔 → (A B A = B B A)))
4544impcom 116 1 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A B A = B B A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 616   w3o 872   = wceq 1228   wcel 1374  Vcvv 2535  c0 3201  suc csuc 4051  𝜔com 4240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-int 3590  df-tr 3829  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241
This theorem is referenced by:  nntri2  5988  nntri1  5989  nndceq  5990  nndcel  5991  nnawordex  6012  ltsopi  6180  pitri3or  6182
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