Theorem nnindnn 6967

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 7930 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 6974). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nntopi.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
nnindnn.1	⊢ (𝑧 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnindnn.y	⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnindnn.y1	⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnindnn.a	⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnindnn.basis	⊢ 𝜓
nnindnn.step	⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnindnn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑧,𝑘   𝑧,𝐴   𝜓,𝑧   𝜒,𝑧   𝜃,𝑧   𝜏,𝑧   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜏(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem nnindnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntopi.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2	1	peano1nnnn 6928	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ 𝑁
3		nnindnn.basis	. . . . . 6 ⊢ 𝜓
4		nnindnn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	4	elrab 2698	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (1 ∈ 𝑁 ∧ 𝜓))
6	2, 3, 5	mpbir2an 849	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
7		elrabi 2695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → 𝑘 ∈ 𝑁)
8	1	peano2nnnn 6929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁)
9	8	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁))
10		nnindnn.step	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))
11	9, 10	anim12d 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝜒) → ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁 ∧ 𝜃)))
12		nnindnn.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 2698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝜒))
14		nnindnn.y1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
15	14	elrab 2698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁 ∧ 𝜃))
16	11, 13, 15	3imtr4g 194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}))
17	7, 16	mpcom 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
18	17	rgen 2374	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
19	1	peano5nnnn 6966	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}) → 𝑁 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
20	6, 18, 19	mp2an 402	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
21	20	sseli 2941	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
22		nnindnn.a	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
23	22	elrab 2698	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 𝜏))
24	21, 23	sylib 127	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 𝜏))
25	24	simprd 107	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  {cab 2026  ∀wral 2306  {crab 2310   ⊆ wss 2917  ∩ cint 3615  (class class class)co 5512  1c1 6890   + caddc 6892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813  df-0r 6816  df-1r 6817  df-c 6895  df-1 6897  df-r 6899  df-add 6900

This theorem is referenced by:  nntopi  6968