ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnaddm1cl Structured version   GIF version

Theorem nnaddm1cl 8041
Description: Closure of addition of positive integers minus one. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaddm1cl ((A B ℕ) → ((A + B) − 1) ℕ)

Proof of Theorem nnaddm1cl
StepHypRef Expression
1 nncn 7663 . . 3 (A ℕ → A ℂ)
2 nncn 7663 . . 3 (B ℕ → B ℂ)
3 ax-1cn 6736 . . . 4 1
4 addsub 6979 . . . 4 ((A B 1 ℂ) → ((A + B) − 1) = ((A − 1) + B))
53, 4mp3an3 1220 . . 3 ((A B ℂ) → ((A + B) − 1) = ((A − 1) + B))
61, 2, 5syl2an 273 . 2 ((A B ℕ) → ((A + B) − 1) = ((A − 1) + B))
7 nnm1nn0 7959 . . 3 (A ℕ → (A − 1) 0)
8 nn0nnaddcl 7949 . . 3 (((A − 1) 0 B ℕ) → ((A − 1) + B) ℕ)
97, 8sylan 267 . 2 ((A B ℕ) → ((A − 1) + B) ℕ)
106, 9eqeltrd 2111 1 ((A B ℕ) → ((A + B) − 1) ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  1c1 6672   + caddc 6674  cmin 6939  cn 7655  0cn0 7917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-inn 7656  df-n0 7918
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator