ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0supp Structured version   GIF version

Theorem nn0supp 7970
Description: Two ways to write the support of a function on 0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0supp (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (V ∖ {0})) = (𝐹 “ ℕ))

Proof of Theorem nn0supp
StepHypRef Expression
1 dfn2 7930 . . . 4 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
2 invdif 3173 . . . 4 (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})) = (ℕ0 ∖ {0})
31, 2eqtr4i 2060 . . 3 ℕ = (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))
43imaeq2i 4609 . 2 (𝐹 “ ℕ) = (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0})))
5 ffun 4991 . . . 4 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
6 inpreima 5236 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))))
75, 6syl 14 . . 3 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))))
8 cnvimass 4631 . . . . 5 (𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ dom 𝐹
9 fdm 4993 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = 𝐼)
10 fimacnv 5239 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ ℕ0) = 𝐼)
119, 10eqtr4d 2072 . . . . 5 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → dom 𝐹 = (𝐹 “ ℕ0))
128, 11syl5sseq 2987 . . . 4 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐹 “ ℕ0))
13 sseqin2 3150 . . . 4 ((𝐹 “ (V ∖ {0})) ⊆ (𝐹 “ ℕ0) ↔ ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (𝐹 “ (V ∖ {0})))
1412, 13sylib 127 . . 3 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → ((𝐹 “ ℕ0) ∩ (𝐹 “ (V ∖ {0}))) = (𝐹 “ (V ∖ {0})))
157, 14eqtrd 2069 . 2 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (ℕ0 ∩ (V ∖ {0}))) = (𝐹 “ (V ∖ {0})))
164, 15syl5req 2082 1 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 “ (V ∖ {0})) = (𝐹 “ ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242  Vcvv 2551  cdif 2908  cin 2910  wss 2911  {csn 3367  ccnv 4287  dom cdm 4288  cima 4291  Fun wfun 4839  wf 4841  0cc0 6671  cn 7655  0cn0 7917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1re 6737  ax-addrcl 6740  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-inn 7656  df-n0 7918
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator