Theorem nn0ssre 8185

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8182	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 7918	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 7027	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 3508	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3118	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 2975	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1393   ∪ cun 2915   ⊆ wss 2917  {csn 3375  ℝcr 6888  0cc0 6889  ℕcn 7914  ℕ₀cn0 8181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1re 6978  ax-addrcl 6981  ax-rnegex 6993

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-int 3616  df-inn 7915  df-n0 8182

This theorem is referenced by:  nn0sscn  8186  nn0re  8190  nn0rei  8192  nn0red  8236