Theorem nn0ssre 7961

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 7958	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 7699	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 6825	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 3499	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3112	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 2969	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1390   ∪ cun 2909   ⊆ wss 2911  {csn 3367  ℝcr 6710  0cc0 6711  ℕcn 7695  ℕ₀cn0 7957

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1re 6777  ax-addrcl 6780  ax-rnegex 6792

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-int 3607  df-inn 7696  df-n0 7958

This theorem is referenced by:  nn0sscn  7962  nn0re  7966  nn0rei  7968  nn0red  8012