ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn01to3 Structured version   GIF version

Theorem nn01to3 8308
Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn01to3 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3))

Proof of Theorem nn01to3
StepHypRef Expression
1 simp2 904 . . . . . . 7 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → 1 ≤ 𝑁)
2 simp1 903 . . . . . . . 8 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 0)
3 1z 8027 . . . . . . . . 9 1
4 nn0z 8021 . . . . . . . . 9 (𝑁 0𝑁 ℤ)
5 zleloe 8048 . . . . . . . . 9 ((1 𝑁 ℤ) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 1 = 𝑁)))
63, 4, 5sylancr 393 . . . . . . . 8 (𝑁 0 → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 1 = 𝑁)))
72, 6syl 14 . . . . . . 7 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (1 ≤ 𝑁 ↔ (1 < 𝑁 1 = 𝑁)))
81, 7mpbid 135 . . . . . 6 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (1 < 𝑁 1 = 𝑁))
9 1nn0 7953 . . . . . . . . . . 11 1 0
10 nn0ltp1le 8062 . . . . . . . . . . 11 ((1 0 𝑁 0) → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
119, 10mpan 400 . . . . . . . . . 10 (𝑁 0 → (1 < 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁))
12 df-2 7733 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
1312breq1i 3762 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑁)
1411, 13syl6bbr 187 . . . . . . . . 9 (𝑁 0 → (1 < 𝑁 ↔ 2 ≤ 𝑁))
15 2z 8029 . . . . . . . . . 10 2
16 zleloe 8048 . . . . . . . . . 10 ((2 𝑁 ℤ) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 2 = 𝑁)))
1715, 4, 16sylancr 393 . . . . . . . . 9 (𝑁 0 → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 2 = 𝑁)))
1814, 17bitrd 177 . . . . . . . 8 (𝑁 0 → (1 < 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 2 = 𝑁)))
1918orbi1d 704 . . . . . . 7 (𝑁 0 → ((1 < 𝑁 1 = 𝑁) ↔ ((2 < 𝑁 2 = 𝑁) 1 = 𝑁)))
202, 19syl 14 . . . . . 6 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → ((1 < 𝑁 1 = 𝑁) ↔ ((2 < 𝑁 2 = 𝑁) 1 = 𝑁)))
218, 20mpbid 135 . . . . 5 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → ((2 < 𝑁 2 = 𝑁) 1 = 𝑁))
2221orcomd 647 . . . 4 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (1 = 𝑁 (2 < 𝑁 2 = 𝑁)))
23 orcom 646 . . . . 5 ((2 < 𝑁 2 = 𝑁) ↔ (2 = 𝑁 2 < 𝑁))
2423orbi2i 678 . . . 4 ((1 = 𝑁 (2 < 𝑁 2 = 𝑁)) ↔ (1 = 𝑁 (2 = 𝑁 2 < 𝑁)))
2522, 24sylib 127 . . 3 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (1 = 𝑁 (2 = 𝑁 2 < 𝑁)))
26 3orass 887 . . 3 ((1 = 𝑁 2 = 𝑁 2 < 𝑁) ↔ (1 = 𝑁 (2 = 𝑁 2 < 𝑁)))
2725, 26sylibr 137 . 2 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (1 = 𝑁 2 = 𝑁 2 < 𝑁))
28 3mix1 1072 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3))
2928eqcoms 2040 . . . 4 (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3))
3029a1i 9 . . 3 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (1 = 𝑁 → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3)))
31 3mix2 1073 . . . . 5 (𝑁 = 2 → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3))
3231eqcoms 2040 . . . 4 (2 = 𝑁 → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3))
3332a1i 9 . . 3 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (2 = 𝑁 → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3)))
34 simp3 905 . . . . . 6 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ≤ 3)
3534biantrurd 289 . . . . 5 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ 3 3 ≤ 𝑁)))
36 2nn0 7954 . . . . . . . 8 2 0
37 nn0ltp1le 8062 . . . . . . . 8 ((2 0 𝑁 0) → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
3836, 37mpan 400 . . . . . . 7 (𝑁 0 → (2 < 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁))
39 df-3 7734 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
4039breq1i 3762 . . . . . . 7 (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑁)
4138, 40syl6bbr 187 . . . . . 6 (𝑁 0 → (2 < 𝑁 ↔ 3 ≤ 𝑁))
422, 41syl 14 . . . . 5 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (2 < 𝑁 ↔ 3 ≤ 𝑁))
432nn0red 7992 . . . . . 6 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ℝ)
44 3re 7749 . . . . . 6 3
45 letri3 6876 . . . . . 6 ((𝑁 3 ℝ) → (𝑁 = 3 ↔ (𝑁 ≤ 3 3 ≤ 𝑁)))
4643, 44, 45sylancl 392 . . . . 5 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 3 ↔ (𝑁 ≤ 3 3 ≤ 𝑁)))
4735, 42, 463bitr4d 209 . . . 4 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (2 < 𝑁𝑁 = 3))
48 3mix3 1074 . . . 4 (𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3))
4947, 48syl6bi 152 . . 3 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3)))
5030, 33, 493jaod 1198 . 2 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → ((1 = 𝑁 2 = 𝑁 2 < 𝑁) → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3)))
5127, 50mpd 13 1 ((𝑁 0 1 ≤ 𝑁 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 𝑁 = 2 𝑁 = 3))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3o 883   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6690  1c1 6692   + caddc 6694   < clt 6837  cle 6838  2c2 7724  3c3 7725  0cn0 7937  cz 8001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-2 7733  df-3 7734  df-n0 7938  df-z 8002
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator