ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negm Structured version   GIF version

Theorem negm 8326
Description: The image under negation of an inhabited set of reals is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
negm ((A ⊆ ℝ x x A) → y y {z ℝ ∣ -z A})
Distinct variable group:   x,A,y,z

Proof of Theorem negm
StepHypRef Expression
1 ssel 2933 . . . . 5 (A ⊆ ℝ → (x Ax ℝ))
2 renegcl 7068 . . . . . . . 8 (x ℝ → -x ℝ)
3 negeq 7001 . . . . . . . . . 10 (z = -x → -z = --x)
43eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 (z = -x → (-z A ↔ --x A))
54elrab3 2693 . . . . . . . 8 (-x ℝ → (-x {z ℝ ∣ -z A} ↔ --x A))
62, 5syl 14 . . . . . . 7 (x ℝ → (-x {z ℝ ∣ -z A} ↔ --x A))
7 recn 6812 . . . . . . . . 9 (x ℝ → x ℂ)
87negnegd 7109 . . . . . . . 8 (x ℝ → --x = x)
98eleq1d 2103 . . . . . . 7 (x ℝ → (--x Ax A))
106, 9bitrd 177 . . . . . 6 (x ℝ → (-x {z ℝ ∣ -z A} ↔ x A))
1110biimprd 147 . . . . 5 (x ℝ → (x A → -x {z ℝ ∣ -z A}))
121, 11syli 33 . . . 4 (A ⊆ ℝ → (x A → -x {z ℝ ∣ -z A}))
13 elex2 2564 . . . 4 (-x {z ℝ ∣ -z A} → y y {z ℝ ∣ -z A})
1412, 13syl6 29 . . 3 (A ⊆ ℝ → (x Ay y {z ℝ ∣ -z A}))
1514exlimdv 1697 . 2 (A ⊆ ℝ → (x x Ay y {z ℝ ∣ -z A}))
1615imp 115 1 ((A ⊆ ℝ x x A) → y y {z ℝ ∣ -z A})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {crab 2304  wss 2911  cr 6710  -cneg 6980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-neg 6982
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator