Theorem neg11 7058

Description: Negative is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
neg11	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (-A = -B ↔ A = B))

Proof of Theorem neg11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 7001	. . 3 ⊢ (-A = -B → --A = --B)
2		negneg 7057	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → --A = A)
3		negneg 7057	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℂ → --B = B)
4	2, 3	eqeqan12d 2052	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (--A = --B ↔ A = B))
5	1, 4	syl5ib 143	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (-A = -B → A = B))
6		negeq 7001	. 2 ⊢ (A = B → -A = -B)
7	5, 6	impbid1 130	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (-A = -B ↔ A = B))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ℂcc 6709  -cneg 6980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-neg 6982

This theorem is referenced by:  negcon1  7059  negeq0  7061  neg11i  7088  neg11ad  7114  subeqrev  7170