Theorem ndmfvg 5145

Description: The value of a class outside its domain is the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ndmfvg	⊢ ((A ∈ V ∧ ¬ A ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘A) = ∅)

Proof of Theorem ndmfvg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 1927	. . . . 5 ⊢ (∃!x A𝐹x → ∃x A𝐹x)
2		eldmg 4472	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → (A ∈ dom 𝐹 ↔ ∃x A𝐹x))
3	1, 2	syl5ibr 145	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → (∃!x A𝐹x → A ∈ dom 𝐹))
4	3	con3d 560	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (¬ A ∈ dom 𝐹 → ¬ ∃!x A𝐹x))
5		tz6.12-2 5110	. . 3 ⊢ (¬ ∃!x A𝐹x → (𝐹‘A) = ∅)
6	4, 5	syl6 29	. 2 ⊢ (A ∈ V → (¬ A ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘A) = ∅))
7	6	imp 115	1 ⊢ ((A ∈ V ∧ ¬ A ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘A) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃!weu 1897  Vcvv 2551  ∅c0 3218   class class class wbr 3754  dom cdm 4287  ‘cfv 4844

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-br 3755  df-dm 4297  df-iota 4809  df-fv 4852

This theorem is referenced by:  ovprc  5479