Theorem nalset 3857

Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
nalset	⊢ ¬ ∃x∀y y ∈ x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem nalset

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexnim 1517	. 2 ⊢ (∀x∃y ¬ y ∈ x → ¬ ∃x∀y y ∈ x)
2		ax-sep 3845	. . 3 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z))
3		elequ1 1578	. . . . . 6 ⊢ (z = y → (z ∈ y ↔ y ∈ y))
4		elequ1 1578	. . . . . . 7 ⊢ (z = y → (z ∈ x ↔ y ∈ x))
5		elequ1 1578	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = y → (z ∈ z ↔ y ∈ z))
6		elequ2 1579	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = y → (y ∈ z ↔ y ∈ y))
7	5, 6	bitrd 177	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → (z ∈ z ↔ y ∈ y))
8	7	notbid 579	. . . . . . 7 ⊢ (z = y → (¬ z ∈ z ↔ ¬ y ∈ y))
9	4, 8	anbi12d 445	. . . . . 6 ⊢ (z = y → ((z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z) ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y)))
10	3, 9	bibi12d 224	. . . . 5 ⊢ (z = y → ((z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z)) ↔ (y ∈ y ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y))))
11	10	spv 1718	. . . 4 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z)) → (y ∈ y ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y)))
12		pclem6 1248	. . . 4 ⊢ ((y ∈ y ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y)) → ¬ y ∈ x)
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z)) → ¬ y ∈ x)
14	2, 13	eximii 1471	. 2 ⊢ ∃y ¬ y ∈ x
15	1, 14	mpg 1316	1 ⊢ ¬ ∃x∀y y ∈ x

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1224  ∃wex 1358

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-5 1312  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-sep 3845

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326

This theorem is referenced by:  vprc  3858