ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulneg1 Structured version   GIF version

Theorem mulneg1 7148
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulneg1 ((A B ℂ) → (-A · B) = -(A · B))

Proof of Theorem mulneg1
StepHypRef Expression
1 0cn 6777 . . . 4 0
2 subdir 7139 . . . 4 ((0 A B ℂ) → ((0 − A) · B) = ((0 · B) − (A · B)))
31, 2mp3an1 1218 . . 3 ((A B ℂ) → ((0 − A) · B) = ((0 · B) − (A · B)))
4 simpr 103 . . . . 5 ((A B ℂ) → B ℂ)
54mul02d 7145 . . . 4 ((A B ℂ) → (0 · B) = 0)
65oveq1d 5470 . . 3 ((A B ℂ) → ((0 · B) − (A · B)) = (0 − (A · B)))
73, 6eqtrd 2069 . 2 ((A B ℂ) → ((0 − A) · B) = (0 − (A · B)))
8 df-neg 6942 . . 3 -A = (0 − A)
98oveq1i 5465 . 2 (-A · B) = ((0 − A) · B)
10 df-neg 6942 . 2 -(A · B) = (0 − (A · B))
117, 9, 103eqtr4g 2094 1 ((A B ℂ) → (-A · B) = -(A · B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671   · cmul 6676  cmin 6939  -cneg 6940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-neg 6942
This theorem is referenced by:  mulneg2  7149  mulneg12  7150  mulm1  7153  mulneg1i  7157  mulneg1d  7164  divnegap  7425  zmulcl  8033  cjreim  9091
  Copyright terms: Public domain W3C validator