ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnq0 Structured version   GIF version

Theorem mulcomnq0 6442
Description: Multiplication of non-negative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq0 ((A Q0 B Q0) → (A ·Q0 B) = (B ·Q0 A))

Proof of Theorem mulcomnq0
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6407 . 2 Q0 = ((𝜔 × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5462 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
3 oveq2 5463 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨x, y⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 A))
42, 3eqeq12d 2051 . 2 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨x, y⟩] ~Q0 ) ↔ (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 A)))
5 oveq2 5463 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 B))
6 oveq1 5462 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (B ·Q0 A))
75, 6eqeq12d 2051 . 2 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 A) ↔ (A ·Q0 B) = (B ·Q0 A)))
8 nnmcom 6007 . . . . 5 ((x 𝜔 z 𝜔) → (x ·𝑜 z) = (z ·𝑜 x))
98ad2ant2r 478 . . . 4 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → (x ·𝑜 z) = (z ·𝑜 x))
10 pinn 6293 . . . . . 6 (y Ny 𝜔)
11 pinn 6293 . . . . . 6 (w Nw 𝜔)
12 nnmcom 6007 . . . . . 6 ((y 𝜔 w 𝜔) → (y ·𝑜 w) = (w ·𝑜 y))
1310, 11, 12syl2an 273 . . . . 5 ((y N w N) → (y ·𝑜 w) = (w ·𝑜 y))
1413ad2ant2l 477 . . . 4 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → (y ·𝑜 w) = (w ·𝑜 y))
15 opeq12 3542 . . . . 5 (((x ·𝑜 z) = (z ·𝑜 x) (y ·𝑜 w) = (w ·𝑜 y)) → ⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩ = ⟨(z ·𝑜 x), (w ·𝑜 y)⟩)
1615eceq1d 6078 . . . 4 (((x ·𝑜 z) = (z ·𝑜 x) (y ·𝑜 w) = (w ·𝑜 y)) → [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 = [⟨(z ·𝑜 x), (w ·𝑜 y)⟩] ~Q0 )
179, 14, 16syl2anc 391 . . 3 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 = [⟨(z ·𝑜 x), (w ·𝑜 y)⟩] ~Q0 )
18 mulnnnq0 6432 . . 3 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
19 mulnnnq0 6432 . . . 4 (((z 𝜔 w N) (x 𝜔 y N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨x, y⟩] ~Q0 ) = [⟨(z ·𝑜 x), (w ·𝑜 y)⟩] ~Q0 )
2019ancoms 255 . . 3 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨x, y⟩] ~Q0 ) = [⟨(z ·𝑜 x), (w ·𝑜 y)⟩] ~Q0 )
2117, 18, 203eqtr4d 2079 . 2 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨x, y⟩] ~Q0 ))
221, 4, 7, 212ecoptocl 6130 1 ((A Q0 B Q0) → (A ·Q0 B) = (B ·Q0 A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370  𝜔com 4256  (class class class)co 5455   ·𝑜 comu 5938  [cec 6040  Ncnpi 6256   ~Q0 ceq0 6270  Q0cnq0 6271   ·Q0 cmq0 6274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-mq0 6410
This theorem is referenced by:  distnq0r  6445
  Copyright terms: Public domain W3C validator