Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnq0 Structured version   GIF version

Theorem mulcomnq0 6315
 Description: Multiplication of non-negative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq0 ((A Q0 B Q0) → (A ·Q0 B) = (B ·Q0 A))

Proof of Theorem mulcomnq0
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6280 . 2 Q0 = ((𝜔 × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5443 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ))
3 oveq2 5444 . . 3 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨x, y⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 A))
42, 3eqeq12d 2036 . 2 ([⟨x, y⟩] ~Q0 = A → (([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨x, y⟩] ~Q0 ) ↔ (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 A)))
5 oveq2 5444 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → (A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = (A ·Q0 B))
6 oveq1 5443 . . 3 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 A) = (B ·Q0 A))
75, 6eqeq12d 2036 . 2 ([⟨z, w⟩] ~Q0 = B → ((A ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 A) ↔ (A ·Q0 B) = (B ·Q0 A)))
8 nnmcom 5983 . . . . 5 ((x 𝜔 z 𝜔) → (x ·𝑜 z) = (z ·𝑜 x))
98ad2ant2r 466 . . . 4 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → (x ·𝑜 z) = (z ·𝑜 x))
10 pinn 6169 . . . . . 6 (y Ny 𝜔)
11 pinn 6169 . . . . . 6 (w Nw 𝜔)
12 nnmcom 5983 . . . . . 6 ((y 𝜔 w 𝜔) → (y ·𝑜 w) = (w ·𝑜 y))
1310, 11, 12syl2an 273 . . . . 5 ((y N w N) → (y ·𝑜 w) = (w ·𝑜 y))
1413ad2ant2l 465 . . . 4 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → (y ·𝑜 w) = (w ·𝑜 y))
15 opeq12 3525 . . . . 5 (((x ·𝑜 z) = (z ·𝑜 x) (y ·𝑜 w) = (w ·𝑜 y)) → ⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩ = ⟨(z ·𝑜 x), (w ·𝑜 y)⟩)
1615eceq1d 6053 . . . 4 (((x ·𝑜 z) = (z ·𝑜 x) (y ·𝑜 w) = (w ·𝑜 y)) → [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 = [⟨(z ·𝑜 x), (w ·𝑜 y)⟩] ~Q0 )
179, 14, 16syl2anc 393 . . 3 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 = [⟨(z ·𝑜 x), (w ·𝑜 y)⟩] ~Q0 )
18 mulnnnq0 6305 . . 3 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = [⟨(x ·𝑜 z), (y ·𝑜 w)⟩] ~Q0 )
19 mulnnnq0 6305 . . . 4 (((z 𝜔 w N) (x 𝜔 y N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨x, y⟩] ~Q0 ) = [⟨(z ·𝑜 x), (w ·𝑜 y)⟩] ~Q0 )
2019ancoms 255 . . 3 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨x, y⟩] ~Q0 ) = [⟨(z ·𝑜 x), (w ·𝑜 y)⟩] ~Q0 )
2117, 18, 203eqtr4d 2064 . 2 (((x 𝜔 y N) (z 𝜔 w N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨z, w⟩] ~Q0 ) = ([⟨z, w⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨x, y⟩] ~Q0 ))
221, 4, 7, 212ecoptocl 6105 1 ((A Q0 B Q0) → (A ·Q0 B) = (B ·Q0 A))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1228   ∈ wcel 1374  ⟨cop 3353  𝜔com 4240  (class class class)co 5436   ·𝑜 comu 5914  [cec 6015  Ncnpi 6130   ~Q0 ceq0 6144  Q0cnq0 6145   ·Q0 cmq0 6148 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-coll 3846  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-setind 4204  ax-iinf 4238 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 734  df-3or 874  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-rab 2293  df-v 2537  df-sbc 2742  df-csb 2830  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-int 3590  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-tr 3829  df-id 4004  df-iord 4052  df-on 4054  df-suc 4057  df-iom 4241  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836  df-fv 4837  df-ov 5439  df-oprab 5440  df-mpt2 5441  df-1st 5690  df-2nd 5691  df-recs 5842  df-irdg 5878  df-oadd 5920  df-omul 5921  df-er 6017  df-ec 6019  df-qs 6023  df-ni 6164  df-mi 6166  df-enq0 6279  df-nq0 6280  df-mq0 6283 This theorem is referenced by:  distnq0r  6318
 Copyright terms: Public domain W3C validator