Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnq0 GIF version

Theorem mulcomnq0 6558
 Description: Multiplication of non-negative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq0 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))

Proof of Theorem mulcomnq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6523 . 2 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5519 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3 oveq2 5520 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴))
42, 3eqeq12d 2054 . 2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴)))
5 oveq2 5520 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐵))
6 oveq1 5519 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
75, 6eqeq12d 2054 . 2 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) ↔ (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴)))
8 nnmcom 6068 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥))
98ad2ant2r 478 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥))
10 pinn 6407 . . . . . 6 (𝑦N𝑦 ∈ ω)
11 pinn 6407 . . . . . 6 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
12 nnmcom 6068 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦))
1310, 11, 12syl2an 273 . . . . 5 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦))
1413ad2ant2l 477 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦))
15 opeq12 3551 . . . . 5 (((𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥) ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦)) → ⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩)
1615eceq1d 6142 . . . 4 (((𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥) ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦)) → [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
179, 14, 16syl2anc 391 . . 3 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
18 mulnnnq0 6548 . . 3 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
19 mulnnnq0 6548 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
2019ancoms 255 . . 3 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
2117, 18, 203eqtr4d 2082 . 2 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ))
221, 4, 7, 212ecoptocl 6194 1 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378  ωcom 4313  (class class class)co 5512   ·𝑜 comu 5999  [cec 6104  Ncnpi 6370   ~Q0 ceq0 6384  Q0cnq0 6385   ·Q0 cmq0 6388 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-mi 6404  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-mq0 6526 This theorem is referenced by:  distnq0r  6561
 Copyright terms: Public domain W3C validator