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Theorem mulasssrg 6638
Description: Multiplication of signed reals is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulasssrg ((A R B R 𝐶 R) → ((A ·R B) ·R 𝐶) = (A ·R (B ·R 𝐶)))

Proof of Theorem mulasssrg
Dummy variables f g 𝑟 𝑠 𝑡 u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6607 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 6626 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R )
3 mulsrpr 6626 . 2 (((z P w P) (v P u P)) → ([⟨z, w⟩] ~R ·R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨((z ·P v) +P (w ·P u)), ((z ·P u) +P (w ·P v))⟩] ~R )
4 mulsrpr 6626 . 2 (((((x ·P z) +P (y ·P w)) P ((x ·P w) +P (y ·P z)) P) (v P u P)) → ([⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R ·R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨((((x ·P z) +P (y ·P w)) ·P v) +P (((x ·P w) +P (y ·P z)) ·P u)), ((((x ·P z) +P (y ·P w)) ·P u) +P (((x ·P w) +P (y ·P z)) ·P v))⟩] ~R )
5 mulsrpr 6626 . 2 (((x P y P) (((z ·P v) +P (w ·P u)) P ((z ·P u) +P (w ·P v)) P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨((z ·P v) +P (w ·P u)), ((z ·P u) +P (w ·P v))⟩] ~R ) = [⟨((x ·P ((z ·P v) +P (w ·P u))) +P (y ·P ((z ·P u) +P (w ·P v)))), ((x ·P ((z ·P u) +P (w ·P v))) +P (y ·P ((z ·P v) +P (w ·P u))))⟩] ~R )
6 mulclpr 6543 . . . . 5 ((x P z P) → (x ·P z) P)
76ad2ant2r 478 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (x ·P z) P)
8 mulclpr 6543 . . . . 5 ((y P w P) → (y ·P w) P)
98ad2ant2l 477 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (y ·P w) P)
10 addclpr 6513 . . . 4 (((x ·P z) P (y ·P w) P) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
117, 9, 10syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) P)
12 mulclpr 6543 . . . . 5 ((x P w P) → (x ·P w) P)
1312ad2ant2rl 480 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (x ·P w) P)
14 mulclpr 6543 . . . . 5 ((y P z P) → (y ·P z) P)
1514ad2ant2lr 479 . . . 4 (((x P y P) (z P w P)) → (y ·P z) P)
16 addclpr 6513 . . . 4 (((x ·P w) P (y ·P z) P) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) P)
1713, 15, 16syl2anc 391 . . 3 (((x P y P) (z P w P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) P)
1811, 17jca 290 . 2 (((x P y P) (z P w P)) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) P ((x ·P w) +P (y ·P z)) P))
19 mulclpr 6543 . . . . 5 ((z P v P) → (z ·P v) P)
2019ad2ant2r 478 . . . 4 (((z P w P) (v P u P)) → (z ·P v) P)
21 mulclpr 6543 . . . . 5 ((w P u P) → (w ·P u) P)
2221ad2ant2l 477 . . . 4 (((z P w P) (v P u P)) → (w ·P u) P)
23 addclpr 6513 . . . 4 (((z ·P v) P (w ·P u) P) → ((z ·P v) +P (w ·P u)) P)
2420, 22, 23syl2anc 391 . . 3 (((z P w P) (v P u P)) → ((z ·P v) +P (w ·P u)) P)
25 mulclpr 6543 . . . . 5 ((z P u P) → (z ·P u) P)
2625ad2ant2rl 480 . . . 4 (((z P w P) (v P u P)) → (z ·P u) P)
27 mulclpr 6543 . . . . 5 ((w P v P) → (w ·P v) P)
2827ad2ant2lr 479 . . . 4 (((z P w P) (v P u P)) → (w ·P v) P)
29 addclpr 6513 . . . 4 (((z ·P u) P (w ·P v) P) → ((z ·P u) +P (w ·P v)) P)
3026, 28, 29syl2anc 391 . . 3 (((z P w P) (v P u P)) → ((z ·P u) +P (w ·P v)) P)
3124, 30jca 290 . 2 (((z P w P) (v P u P)) → (((z ·P v) +P (w ·P u)) P ((z ·P u) +P (w ·P v)) P))
32 mulcomprg 6546 . . . 4 ((f P g P) → (f ·P g) = (g ·P f))
3332adantl 262 . . 3 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P)) → (f ·P g) = (g ·P f))
34 distrprg 6554 . . . . . 6 ((𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P) → (𝑟 ·P (𝑠 +P 𝑡)) = ((𝑟 ·P 𝑠) +P (𝑟 ·P 𝑡)))
3534adantl 262 . . . . 5 (((f P g P P) (𝑟 P 𝑠 P 𝑡 P)) → (𝑟 ·P (𝑠 +P 𝑡)) = ((𝑟 ·P 𝑠) +P (𝑟 ·P 𝑡)))
36 simp1 903 . . . . 5 ((f P g P P) → f P)
37 simp2 904 . . . . 5 ((f P g P P) → g P)
38 simp3 905 . . . . 5 ((f P g P P) → P)
39 addclpr 6513 . . . . . 6 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 +P 𝑠) P)
4039adantl 262 . . . . 5 (((f P g P P) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 +P 𝑠) P)
41 mulcomprg 6546 . . . . . 6 ((𝑟 P 𝑠 P) → (𝑟 ·P 𝑠) = (𝑠 ·P 𝑟))
4241adantl 262 . . . . 5 (((f P g P P) (𝑟 P 𝑠 P)) → (𝑟 ·P 𝑠) = (𝑠 ·P 𝑟))
4335, 36, 37, 38, 40, 42caovdir2d 5616 . . . 4 ((f P g P P) → ((f +P g) ·P ) = ((f ·P ) +P (g ·P )))
4443adantl 262 . . 3 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P P)) → ((f +P g) ·P ) = ((f ·P ) +P (g ·P )))
45 mulassprg 6547 . . . 4 ((f P g P P) → ((f ·P g) ·P ) = (f ·P (g ·P )))
4645adantl 262 . . 3 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P P)) → ((f ·P g) ·P ) = (f ·P (g ·P )))
47 mulclpr 6543 . . . 4 ((f P g P) → (f ·P g) P)
4847adantl 262 . . 3 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P)) → (f ·P g) P)
49 simp1l 927 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → x P)
50 simp1r 928 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → y P)
51 simp2l 929 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → z P)
52 simp2r 930 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → w P)
53 simp3l 931 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → v P)
54 simp3r 932 . . 3 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → u P)
55 addcomprg 6544 . . . 4 ((f P g P) → (f +P g) = (g +P f))
5655adantl 262 . . 3 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P)) → (f +P g) = (g +P f))
57 addassprg 6545 . . . 4 ((f P g P P) → ((f +P g) +P ) = (f +P (g +P )))
5857adantl 262 . . 3 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P P)) → ((f +P g) +P ) = (f +P (g +P )))
59 addclpr 6513 . . . 4 ((f P g P) → (f +P g) P)
6059adantl 262 . . 3 ((((x P y P) (z P w P) (v P u P)) (f P g P)) → (f +P g) P)
6133, 44, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 60caovlem2d 5632 . 2 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((((x ·P z) +P (y ·P w)) ·P v) +P (((x ·P w) +P (y ·P z)) ·P u)) = ((x ·P ((z ·P v) +P (w ·P u))) +P (y ·P ((z ·P u) +P (w ·P v)))))
6233, 44, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 53, 56, 58, 60caovlem2d 5632 . 2 (((x P y P) (z P w P) (v P u P)) → ((((x ·P z) +P (y ·P w)) ·P u) +P (((x ·P w) +P (y ·P z)) ·P v)) = ((x ·P ((z ·P u) +P (w ·P v))) +P (y ·P ((z ·P v) +P (w ·P u)))))
631, 2, 3, 4, 5, 18, 31, 61, 62ecoviass 6145 1 ((A R B R 𝐶 R) → ((A ·R B) ·R 𝐶) = (A ·R (B ·R 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5452  Pcnp 6268   +P cpp 6270   ·P cmp 6271   ~R cer 6273  Rcnr 6274   ·R cmr 6279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-iplp 6443  df-imp 6444  df-enr 6606  df-nr 6607  df-mr 6609
This theorem is referenced by:  axmulass  6709
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