ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulasssrg GIF version

Theorem mulasssrg 6843
Description: Multiplication of signed reals is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulasssrg ((𝐴R𝐵R𝐶R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))

Proof of Theorem mulasssrg
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 6812 . 2 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 6831 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3 mulsrpr 6831 . 2 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R )
4 mulsrpr 6831 . 2 (((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ([⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)), ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣))⟩] ~R )
5 mulsrpr 6831 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)))), ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))))⟩] ~R )
6 mulclpr 6670 . . . . 5 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
76ad2ant2r 478 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
8 mulclpr 6670 . . . . 5 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
98ad2ant2l 477 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
10 addclpr 6635 . . . 4 (((𝑥 ·P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
117, 9, 10syl2anc 391 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
12 mulclpr 6670 . . . . 5 ((𝑥P𝑤P) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
1312ad2ant2rl 480 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
14 mulclpr 6670 . . . . 5 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
1514ad2ant2lr 479 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
16 addclpr 6635 . . . 4 (((𝑥 ·P 𝑤) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1713, 15, 16syl2anc 391 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1811, 17jca 290 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P))
19 mulclpr 6670 . . . . 5 ((𝑧P𝑣P) → (𝑧 ·P 𝑣) ∈ P)
2019ad2ant2r 478 . . . 4 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → (𝑧 ·P 𝑣) ∈ P)
21 mulclpr 6670 . . . . 5 ((𝑤P𝑢P) → (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P)
2221ad2ant2l 477 . . . 4 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P)
23 addclpr 6635 . . . 4 (((𝑧 ·P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
2420, 22, 23syl2anc 391 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
25 mulclpr 6670 . . . . 5 ((𝑧P𝑢P) → (𝑧 ·P 𝑢) ∈ P)
2625ad2ant2rl 480 . . . 4 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → (𝑧 ·P 𝑢) ∈ P)
27 mulclpr 6670 . . . . 5 ((𝑤P𝑣P) → (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P)
2827ad2ant2lr 479 . . . 4 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P)
29 addclpr 6635 . . . 4 (((𝑧 ·P 𝑢) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
3026, 28, 29syl2anc 391 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
3124, 30jca 290 . 2 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P))
32 mulcomprg 6678 . . . 4 ((𝑓P𝑔P) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
3332adantl 262 . . 3 ((((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) ∧ (𝑓P𝑔P)) → (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓))
34 distrprg 6686 . . . . . 6 ((𝑟P𝑠P𝑡P) → (𝑟 ·P (𝑠 +P 𝑡)) = ((𝑟 ·P 𝑠) +P (𝑟 ·P 𝑡)))
3534adantl 262 . . . . 5 (((𝑓P𝑔PP) ∧ (𝑟P𝑠P𝑡P)) → (𝑟 ·P (𝑠 +P 𝑡)) = ((𝑟 ·P 𝑠) +P (𝑟 ·P 𝑡)))
36 simp1 904 . . . . 5 ((𝑓P𝑔PP) → 𝑓P)
37 simp2 905 . . . . 5 ((𝑓P𝑔PP) → 𝑔P)
38 simp3 906 . . . . 5 ((𝑓P𝑔PP) → P)
39 addclpr 6635 . . . . . 6 ((𝑟P𝑠P) → (𝑟 +P 𝑠) ∈ P)
4039adantl 262 . . . . 5 (((𝑓P𝑔PP) ∧ (𝑟P𝑠P)) → (𝑟 +P 𝑠) ∈ P)
41 mulcomprg 6678 . . . . . 6 ((𝑟P𝑠P) → (𝑟 ·P 𝑠) = (𝑠 ·P 𝑟))
4241adantl 262 . . . . 5 (((𝑓P𝑔PP) ∧ (𝑟P𝑠P)) → (𝑟 ·P 𝑠) = (𝑠 ·P 𝑟))
4335, 36, 37, 38, 40, 42caovdir2d 5677 . . . 4 ((𝑓P𝑔PP) → ((𝑓 +P 𝑔) ·P ) = ((𝑓 ·P ) +P (𝑔 ·P )))
4443adantl 262 . . 3 ((((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) ∧ (𝑓P𝑔PP)) → ((𝑓 +P 𝑔) ·P ) = ((𝑓 ·P ) +P (𝑔 ·P )))
45 mulassprg 6679 . . . 4 ((𝑓P𝑔PP) → ((𝑓 ·P 𝑔) ·P ) = (𝑓 ·P (𝑔 ·P )))
4645adantl 262 . . 3 ((((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) ∧ (𝑓P𝑔PP)) → ((𝑓 ·P 𝑔) ·P ) = (𝑓 ·P (𝑔 ·P )))
47 mulclpr 6670 . . . 4 ((𝑓P𝑔P) → (𝑓 ·P 𝑔) ∈ P)
4847adantl 262 . . 3 ((((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) ∧ (𝑓P𝑔P)) → (𝑓 ·P 𝑔) ∈ P)
49 simp1l 928 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → 𝑥P)
50 simp1r 929 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → 𝑦P)
51 simp2l 930 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → 𝑧P)
52 simp2r 931 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → 𝑤P)
53 simp3l 932 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → 𝑣P)
54 simp3r 933 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → 𝑢P)
55 addcomprg 6676 . . . 4 ((𝑓P𝑔P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
5655adantl 262 . . 3 ((((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) ∧ (𝑓P𝑔P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
57 addassprg 6677 . . . 4 ((𝑓P𝑔PP) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ) = (𝑓 +P (𝑔 +P )))
5857adantl 262 . . 3 ((((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) ∧ (𝑓P𝑔PP)) → ((𝑓 +P 𝑔) +P ) = (𝑓 +P (𝑔 +P )))
59 addclpr 6635 . . . 4 ((𝑓P𝑔P) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
6059adantl 262 . . 3 ((((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) ∧ (𝑓P𝑔P)) → (𝑓 +P 𝑔) ∈ P)
6133, 44, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 60caovlem2d 5693 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)))))
6233, 44, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 53, 56, 58, 60caovlem2d 5693 . 2 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)))))
631, 2, 3, 4, 5, 18, 31, 61, 62ecoviass 6216 1 ((𝐴R𝐵R𝐶R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  (class class class)co 5512  Pcnp 6389   +P cpp 6391   ·P cmp 6392   ~R cer 6394  Rcnr 6395   ·R cmr 6400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-iplp 6566  df-imp 6567  df-enr 6811  df-nr 6812  df-mr 6814
This theorem is referenced by:  axmulass  6947
  Copyright terms: Public domain W3C validator