Theorem mptfvex 5199

Description: Sufficient condition for a maps-to notation to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	⊢ 𝐹 = (x ∈ A ↦ B)

Assertion

Ref	Expression
mptfvex	⊢ ((∀x B ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   x,A   x,𝐶

Allowed substitution hints:   B(x)   𝐹(x)   𝑉(x)   𝑊(x)

Proof of Theorem mptfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 2849	. . 3 ⊢ (y = 𝐶 → ⦋y / x⦌B = ⦋𝐶 / x⦌B)
2		fvmpt2.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (x ∈ A ↦ B)
3		nfcv 2175	. . . . 5 ⊢ ℲyB
4		nfcsb1v 2876	. . . . 5 ⊢ Ⅎx⦋y / x⦌B
5		csbeq1a 2854	. . . . 5 ⊢ (x = y → B = ⦋y / x⦌B)
6	3, 4, 5	cbvmpt 3842	. . . 4 ⊢ (x ∈ A ↦ B) = (y ∈ A ↦ ⦋y / x⦌B)
7	2, 6	eqtri 2057	. . 3 ⊢ 𝐹 = (y ∈ A ↦ ⦋y / x⦌B)
8	1, 7	fvmptss2 5190	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐶) ⊆ ⦋𝐶 / x⦌B
9		elex 2560	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ 𝑉 → B ∈ V)
10	9	alimi 1341	. . . . 5 ⊢ (∀x B ∈ 𝑉 → ∀x B ∈ V)
11	3	nfel1 2185	. . . . . 6 ⊢ Ⅎy B ∈ V
12	4	nfel1 2185	. . . . . 6 ⊢ Ⅎx⦋y / x⦌B ∈ V
13	5	eleq1d 2103	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (B ∈ V ↔ ⦋y / x⦌B ∈ V))
14	11, 12, 13	cbval 1634	. . . . 5 ⊢ (∀x B ∈ V ↔ ∀y⦋y / x⦌B ∈ V)
15	10, 14	sylib 127	. . . 4 ⊢ (∀x B ∈ 𝑉 → ∀y⦋y / x⦌B ∈ V)
16	1	eleq1d 2103	. . . . 5 ⊢ (y = 𝐶 → (⦋y / x⦌B ∈ V ↔ ⦋𝐶 / x⦌B ∈ V))
17	16	spcgv 2634	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (∀y⦋y / x⦌B ∈ V → ⦋𝐶 / x⦌B ∈ V))
18	15, 17	syl5 28	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (∀x B ∈ 𝑉 → ⦋𝐶 / x⦌B ∈ V))
19	18	impcom 116	. 2 ⊢ ((∀x B ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ⦋𝐶 / x⦌B ∈ V)
20		ssexg 3887	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐶) ⊆ ⦋𝐶 / x⦌B ∧ ⦋𝐶 / x⦌B ∈ V) → (𝐹‘𝐶) ∈ V)
21	8, 19, 20	sylancr 393	1 ⊢ ((∀x B ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  ⦋csb 2846   ⊆ wss 2911   ↦ cmpt 3809  ‘cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  mpt2fvex  5771  xpcomco  6236