Theorem morex 2698

Description: Derive membership from uniqueness. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
morex.1	⊢ B ∈ V
morex.2	⊢ (x = B → (φ ↔ ψ))

Assertion

Ref	Expression
morex	⊢ ((∃x ∈ A φ ∧ ∃*xφ) → (ψ → B ∈ A))

Distinct variable groups:   x,B   x,A   ψ,x

Allowed substitution hint:   φ(x)

Proof of Theorem morex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2286	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A φ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ φ))
2		exancom 1477	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ φ) ↔ ∃x(φ ∧ x ∈ A))
3	1, 2	bitri 173	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A φ ↔ ∃x(φ ∧ x ∈ A))
4		nfmo1 1890	. . . . . 6 ⊢ Ⅎx∃*xφ
5		nfe1 1362	. . . . . 6 ⊢ Ⅎx∃x(φ ∧ x ∈ A)
6	4, 5	nfan 1435	. . . . 5 ⊢ Ⅎx(∃*xφ ∧ ∃x(φ ∧ x ∈ A))
7		mopick 1956	. . . . 5 ⊢ ((∃*xφ ∧ ∃x(φ ∧ x ∈ A)) → (φ → x ∈ A))
8	6, 7	alrimi 1392	. . . 4 ⊢ ((∃*xφ ∧ ∃x(φ ∧ x ∈ A)) → ∀x(φ → x ∈ A))
9		morex.1	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
10		morex.2	. . . . . 6 ⊢ (x = B → (φ ↔ ψ))
11		eleq1 2078	. . . . . 6 ⊢ (x = B → (x ∈ A ↔ B ∈ A))
12	10, 11	imbi12d 223	. . . . 5 ⊢ (x = B → ((φ → x ∈ A) ↔ (ψ → B ∈ A)))
13	9, 12	spcv 2619	. . . 4 ⊢ (∀x(φ → x ∈ A) → (ψ → B ∈ A))
14	8, 13	syl 14	. . 3 ⊢ ((∃*xφ ∧ ∃x(φ ∧ x ∈ A)) → (ψ → B ∈ A))
15	3, 14	sylan2b 271	. 2 ⊢ ((∃*xφ ∧ ∃x ∈ A φ) → (ψ → B ∈ A))
16	15	ancoms 255	1 ⊢ ((∃x ∈ A φ ∧ ∃*xφ) → (ψ → B ∈ A))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1224   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  ∃*wmo 1879  ∃wrex 2281  Vcvv 2531

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-rex 2286  df-v 2533

This theorem is referenced by: (None)