ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  moexexdc Structured version   GIF version

Theorem moexexdc 1958
Description: "At most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
moexexdc.1 yφ
Assertion
Ref Expression
moexexdc (DECID xφ → ((∃*xφ x∃*yψ) → ∃*yx(φ ψ)))

Proof of Theorem moexexdc
StepHypRef Expression
1 df-dc 727 . 2 (DECID xφ ↔ (xφ ¬ xφ))
2 hbmo1 1912 . . . . . 6 (∃*xφx∃*xφ)
3 hba1 1407 . . . . . . 7 (x∃*yψxx∃*yψ)
4 hbe1 1358 . . . . . . . 8 (x(φ ψ) → xx(φ ψ))
54hbmo 1913 . . . . . . 7 (∃*yx(φ ψ) → x∃*yx(φ ψ))
63, 5hbim 1411 . . . . . 6 ((x∃*yψ∃*yx(φ ψ)) → x(x∃*yψ∃*yx(φ ψ)))
72, 6hbim 1411 . . . . 5 ((∃*xφ → (x∃*yψ∃*yx(φ ψ))) → x(∃*xφ → (x∃*yψ∃*yx(φ ψ))))
8 moexexdc.1 . . . . . . . 8 yφ
98nfri 1386 . . . . . . 7 (φyφ)
109hbmo 1913 . . . . . . 7 (∃*xφy∃*xφ)
11 mopick 1952 . . . . . . . . 9 ((∃*xφ x(φ ψ)) → (φψ))
1211ex 108 . . . . . . . 8 (∃*xφ → (x(φ ψ) → (φψ)))
1312com3r 73 . . . . . . 7 (φ → (∃*xφ → (x(φ ψ) → ψ)))
149, 10, 13alrimdh 1342 . . . . . 6 (φ → (∃*xφy(x(φ ψ) → ψ)))
15 moim 1938 . . . . . . 7 (y(x(φ ψ) → ψ) → (∃*yψ∃*yx(φ ψ)))
1615spsd 1405 . . . . . 6 (y(x(φ ψ) → ψ) → (x∃*yψ∃*yx(φ ψ)))
1714, 16syl6 29 . . . . 5 (φ → (∃*xφ → (x∃*yψ∃*yx(φ ψ))))
187, 17exlimih 1458 . . . 4 (xφ → (∃*xφ → (x∃*yψ∃*yx(φ ψ))))
199hbex 1501 . . . . . . . . 9 (xφyxφ)
20 exsimpl 1482 . . . . . . . . 9 (x(φ ψ) → xφ)
2119, 20exlimih 1458 . . . . . . . 8 (yx(φ ψ) → xφ)
2221con3i 546 . . . . . . 7 xφ → ¬ yx(φ ψ))
23 mon 1903 . . . . . . 7 yx(φ ψ) → ∃*yx(φ ψ))
2422, 23syl 14 . . . . . 6 xφ∃*yx(φ ψ))
2524a1d 22 . . . . 5 xφ → (x∃*yψ∃*yx(φ ψ)))
2625a1d 22 . . . 4 xφ → (∃*xφ → (x∃*yψ∃*yx(φ ψ))))
2718, 26jaoi 620 . . 3 ((xφ ¬ xφ) → (∃*xφ → (x∃*yψ∃*yx(φ ψ))))
2827impd 242 . 2 ((xφ ¬ xφ) → ((∃*xφ x∃*yψ) → ∃*yx(φ ψ)))
291, 28sylbi 114 1 (DECID xφ → ((∃*xφ x∃*yψ) → ∃*yx(φ ψ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   wo 613  DECID wdc 726  wal 1222  wnf 1323  wex 1355  ∃*wmo 1875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1310  ax-7 1311  ax-gen 1312  ax-ie1 1356  ax-ie2 1357  ax-8 1369  ax-10 1370  ax-11 1371  ax-i12 1372  ax-bnd 1373  ax-4 1374  ax-17 1393  ax-i9 1397  ax-ial 1401  ax-i5r 1402
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 727  df-tru 1227  df-nf 1324  df-sb 1620  df-eu 1877  df-mo 1878
This theorem is referenced by:  2moswapdc  1964
  Copyright terms: Public domain W3C validator