Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1expcl2 GIF version

Theorem m1expcl2 9277
 Description: Closure of exponentiation of negative one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1expcl2 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})

Proof of Theorem m1expcl2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 8022 . . 3 -1 ∈ ℂ
2 prid1g 3474 . . 3 (-1 ∈ ℂ → -1 ∈ {-1, 1})
31, 2ax-mp 7 . 2 -1 ∈ {-1, 1}
4 neg1ap0 8026 . 2 -1 # 0
5 ax-1cn 6977 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 prssi 3522 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {-1, 1} ⊆ ℂ)
71, 5, 6mp2an 402 . . 3 {-1, 1} ⊆ ℂ
8 elpri 3398 . . . . 5 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1))
97sseli 2941 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ ℂ)
109mulm1d 7407 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
11 elpri 3398 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1))
12 negeq 7204 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -1 → -𝑦 = --1)
13 negneg1e1 8027 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
14 1ex 7022 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
1514prid2 3477 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ {-1, 1}
1613, 15eqeltri 2110 . . . . . . . . . . 11 --1 ∈ {-1, 1}
1712, 16syl6eqel 2128 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = -1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
18 negeq 7204 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 1 → -𝑦 = -1)
1918, 3syl6eqel 2128 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 1 → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2017, 19jaoi 636 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = -1 ∨ 𝑦 = 1) → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2111, 20syl 14 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → -𝑦 ∈ {-1, 1})
2210, 21eqeltrd 2114 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
23 oveq1 5519 . . . . . . . 8 (𝑥 = -1 → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 𝑦))
2423eleq1d 2106 . . . . . . 7 (𝑥 = -1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (-1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
2522, 24syl5ibr 145 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
269mulid2d 7045 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) = 𝑦)
27 id 19 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {-1, 1} → 𝑦 ∈ {-1, 1})
2826, 27eqeltrd 2114 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {-1, 1} → (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
29 oveq1 5519 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 𝑦))
3029eleq1d 2106 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1} ↔ (1 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3128, 30syl5ibr 145 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3225, 31jaoi 636 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
338, 32syl 14 . . . 4 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (𝑦 ∈ {-1, 1} → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1}))
3433imp 115 . . 3 ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑦 ∈ {-1, 1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {-1, 1})
35 oveq2 5520 . . . . . . 7 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
36 1ap0 7581 . . . . . . . . . 10 1 # 0
37 divneg2ap 7712 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
385, 5, 36, 37mp3an 1232 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = (1 / -1)
39 1div1e1 7681 . . . . . . . . . 10 (1 / 1) = 1
4039negeqi 7205 . . . . . . . . 9 -(1 / 1) = -1
4138, 40eqtr3i 2062 . . . . . . . 8 (1 / -1) = -1
4241, 3eqeltri 2110 . . . . . . 7 (1 / -1) ∈ {-1, 1}
4335, 42syl6eqel 2128 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
44 oveq2 5520 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
4539, 15eqeltri 2110 . . . . . . 7 (1 / 1) ∈ {-1, 1}
4644, 45syl6eqel 2128 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
4743, 46jaoi 636 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
488, 47syl 14 . . . 4 (𝑥 ∈ {-1, 1} → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
4948adantr 261 . . 3 ((𝑥 ∈ {-1, 1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {-1, 1})
507, 34, 15, 49expcl2lemap 9267 . 2 ((-1 ∈ {-1, 1} ∧ -1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
513, 4, 50mp3an12 1222 1 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ⊆ wss 2917  {cpr 3376   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  0cc0 6889  1c1 6890   · cmul 6894  -cneg 7183   # cap 7572   / cdiv 7651  ℤcz 8245  ↑cexp 9254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212  df-iexp 9255 This theorem is referenced by:  m1expcl  9278
 Copyright terms: Public domain W3C validator