Theorem lttri3d 6889

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (φ → A ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (φ → B ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lttri3d	⊢ (φ → (A = B ↔ (¬ A < B ∧ ¬ B < A)))

Proof of Theorem lttri3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (φ → A ∈ ℝ)
2		ltd.2	. 2 ⊢ (φ → B ∈ ℝ)
3		lttri3 6855	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A = B ↔ (¬ A < B ∧ ¬ B < A)))
4	1, 2, 3	syl2anc 391	1 ⊢ (φ → (A = B ↔ (¬ A < B ∧ ¬ B < A)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  ℝcr 6670   < clt 6817

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-apti 6758

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822

This theorem is referenced by: (None)