ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsrprg Structured version   GIF version

Theorem ltsrprg 6635
Description: Ordering of signed reals in terms of positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltsrprg (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → ([⟨A, B⟩] ~R <R [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ↔ (A +P 𝐷)<P (B +P 𝐶)))

Proof of Theorem ltsrprg
Dummy variables x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enrex 6625 . 2 ~R V
2 enrer 6623 . 2 ~R Er (P × P)
3 df-nr 6615 . 2 R = ((P × P) / ~R )
4 df-ltr 6618 . 2 <R = {⟨x, y⟩ ∣ ((x R y R) zwvu((x = [⟨z, w⟩] ~R y = [⟨v, u⟩] ~R ) (z +P u)<P (w +P v)))}
5 enreceq 6624 . . . . 5 (((z P w P) (A P B P)) → ([⟨z, w⟩] ~R = [⟨A, B⟩] ~R ↔ (z +P B) = (w +P A)))
6 enreceq 6624 . . . . . 6 (((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P)) → ([⟨v, u⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ↔ (v +P 𝐷) = (u +P 𝐶)))
7 eqcom 2039 . . . . . 6 ((v +P 𝐷) = (u +P 𝐶) ↔ (u +P 𝐶) = (v +P 𝐷))
86, 7syl6bb 185 . . . . 5 (((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P)) → ([⟨v, u⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ↔ (u +P 𝐶) = (v +P 𝐷)))
95, 8bi2anan9 538 . . . 4 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (([⟨z, w⟩] ~R = [⟨A, B⟩] ~R [⟨v, u⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ) ↔ ((z +P B) = (w +P A) (u +P 𝐶) = (v +P 𝐷))))
10 oveq12 5464 . . . . . . 7 (((z +P B) = (w +P A) (u +P 𝐶) = (v +P 𝐷)) → ((z +P B) +P (u +P 𝐶)) = ((w +P A) +P (v +P 𝐷)))
1110adantl 262 . . . . . 6 (((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) ((z +P B) = (w +P A) (u +P 𝐶) = (v +P 𝐷))) → ((z +P B) +P (u +P 𝐶)) = ((w +P A) +P (v +P 𝐷)))
12 simprlr 490 . . . . . . . . . . 11 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → u P)
13 simplrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → B P)
14 addcomprg 6552 . . . . . . . . . . . 12 ((u P B P) → (u +P B) = (B +P u))
1514oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11 ((u P B P) → ((u +P B) +P 𝐶) = ((B +P u) +P 𝐶))
1612, 13, 15syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((u +P B) +P 𝐶) = ((B +P u) +P 𝐶))
17 simprrl 491 . . . . . . . . . . 11 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → 𝐶 P)
18 addassprg 6553 . . . . . . . . . . 11 ((u P B P 𝐶 P) → ((u +P B) +P 𝐶) = (u +P (B +P 𝐶)))
1912, 13, 17, 18syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((u +P B) +P 𝐶) = (u +P (B +P 𝐶)))
20 addassprg 6553 . . . . . . . . . . 11 ((B P u P 𝐶 P) → ((B +P u) +P 𝐶) = (B +P (u +P 𝐶)))
2113, 12, 17, 20syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((B +P u) +P 𝐶) = (B +P (u +P 𝐶)))
2216, 19, 213eqtr3d 2077 . . . . . . . . 9 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (u +P (B +P 𝐶)) = (B +P (u +P 𝐶)))
2322oveq2d 5471 . . . . . . . 8 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (z +P (u +P (B +P 𝐶))) = (z +P (B +P (u +P 𝐶))))
24 simplll 485 . . . . . . . . 9 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → z P)
25 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . 13 ((w P v P) → (w +P v) P)
2625ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((z P w P) (v P u P)) → (w +P v) P)
27 addclpr 6520 . . . . . . . . . . . . 13 ((B P 𝐶 P) → (B +P 𝐶) P)
2827ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → (B +P 𝐶) P)
2926, 28anim12ci 322 . . . . . . . . . . 11 ((((z P w P) (v P u P)) ((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((B +P 𝐶) P (w +P v) P))
3029an4s 522 . . . . . . . . . 10 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((B +P 𝐶) P (w +P v) P))
3130simpld 105 . . . . . . . . 9 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (B +P 𝐶) P)
32 addassprg 6553 . . . . . . . . 9 ((z P u P (B +P 𝐶) P) → ((z +P u) +P (B +P 𝐶)) = (z +P (u +P (B +P 𝐶))))
3324, 12, 31, 32syl3anc 1134 . . . . . . . 8 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((z +P u) +P (B +P 𝐶)) = (z +P (u +P (B +P 𝐶))))
34 addclpr 6520 . . . . . . . . . 10 ((u P 𝐶 P) → (u +P 𝐶) P)
3512, 17, 34syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (u +P 𝐶) P)
36 addassprg 6553 . . . . . . . . 9 ((z P B P (u +P 𝐶) P) → ((z +P B) +P (u +P 𝐶)) = (z +P (B +P (u +P 𝐶))))
3724, 13, 35, 36syl3anc 1134 . . . . . . . 8 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((z +P B) +P (u +P 𝐶)) = (z +P (B +P (u +P 𝐶))))
3823, 33, 373eqtr4d 2079 . . . . . . 7 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((z +P u) +P (B +P 𝐶)) = ((z +P B) +P (u +P 𝐶)))
3938adantr 261 . . . . . 6 (((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) ((z +P B) = (w +P A) (u +P 𝐶) = (v +P 𝐷))) → ((z +P u) +P (B +P 𝐶)) = ((z +P B) +P (u +P 𝐶)))
40 simprll 489 . . . . . . . . . . . 12 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → v P)
41 simplrl 487 . . . . . . . . . . . 12 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → A P)
42 addcomprg 6552 . . . . . . . . . . . 12 ((v P A P) → (v +P A) = (A +P v))
4340, 41, 42syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (v +P A) = (A +P v))
4443oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((v +P A) +P 𝐷) = ((A +P v) +P 𝐷))
45 simprrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → 𝐷 P)
46 addassprg 6553 . . . . . . . . . . 11 ((v P A P 𝐷 P) → ((v +P A) +P 𝐷) = (v +P (A +P 𝐷)))
4740, 41, 45, 46syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((v +P A) +P 𝐷) = (v +P (A +P 𝐷)))
48 addassprg 6553 . . . . . . . . . . 11 ((A P v P 𝐷 P) → ((A +P v) +P 𝐷) = (A +P (v +P 𝐷)))
4941, 40, 45, 48syl3anc 1134 . . . . . . . . . 10 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((A +P v) +P 𝐷) = (A +P (v +P 𝐷)))
5044, 47, 493eqtr3d 2077 . . . . . . . . 9 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (v +P (A +P 𝐷)) = (A +P (v +P 𝐷)))
5150oveq2d 5471 . . . . . . . 8 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (w +P (v +P (A +P 𝐷))) = (w +P (A +P (v +P 𝐷))))
52 simpllr 486 . . . . . . . . 9 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → w P)
53 addclpr 6520 . . . . . . . . . 10 ((A P 𝐷 P) → (A +P 𝐷) P)
5441, 45, 53syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (A +P 𝐷) P)
55 addassprg 6553 . . . . . . . . 9 ((w P v P (A +P 𝐷) P) → ((w +P v) +P (A +P 𝐷)) = (w +P (v +P (A +P 𝐷))))
5652, 40, 54, 55syl3anc 1134 . . . . . . . 8 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((w +P v) +P (A +P 𝐷)) = (w +P (v +P (A +P 𝐷))))
57 addclpr 6520 . . . . . . . . . 10 ((v P 𝐷 P) → (v +P 𝐷) P)
5840, 45, 57syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (v +P 𝐷) P)
59 addassprg 6553 . . . . . . . . 9 ((w P A P (v +P 𝐷) P) → ((w +P A) +P (v +P 𝐷)) = (w +P (A +P (v +P 𝐷))))
6052, 41, 58, 59syl3anc 1134 . . . . . . . 8 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((w +P A) +P (v +P 𝐷)) = (w +P (A +P (v +P 𝐷))))
6151, 56, 603eqtr4d 2079 . . . . . . 7 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → ((w +P v) +P (A +P 𝐷)) = ((w +P A) +P (v +P 𝐷)))
6261adantr 261 . . . . . 6 (((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) ((z +P B) = (w +P A) (u +P 𝐶) = (v +P 𝐷))) → ((w +P v) +P (A +P 𝐷)) = ((w +P A) +P (v +P 𝐷)))
6311, 39, 623eqtr4d 2079 . . . . 5 (((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) ((z +P B) = (w +P A) (u +P 𝐶) = (v +P 𝐷))) → ((z +P u) +P (B +P 𝐶)) = ((w +P v) +P (A +P 𝐷)))
6463ex 108 . . . 4 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (((z +P B) = (w +P A) (u +P 𝐶) = (v +P 𝐷)) → ((z +P u) +P (B +P 𝐶)) = ((w +P v) +P (A +P 𝐷))))
659, 64sylbid 139 . . 3 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (([⟨z, w⟩] ~R = [⟨A, B⟩] ~R [⟨v, u⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ) → ((z +P u) +P (B +P 𝐶)) = ((w +P v) +P (A +P 𝐷))))
66 ltaprg 6590 . . . . 5 ((x P y P f P) → (x<P y ↔ (f +P x)<P (f +P y)))
6766adantl 262 . . . 4 (((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) (x P y P f P)) → (x<P y ↔ (f +P x)<P (f +P y)))
68 addclpr 6520 . . . . 5 ((z P u P) → (z +P u) P)
6924, 12, 68syl2anc 391 . . . 4 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (z +P u) P)
7030simprd 107 . . . 4 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (w +P v) P)
71 addcomprg 6552 . . . . 5 ((x P y P) → (x +P y) = (y +P x))
7271adantl 262 . . . 4 (((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) (x P y P)) → (x +P y) = (y +P x))
7367, 69, 31, 70, 72, 54caovord3d 5613 . . 3 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (((z +P u) +P (B +P 𝐶)) = ((w +P v) +P (A +P 𝐷)) → ((z +P u)<P (w +P v) ↔ (A +P 𝐷)<P (B +P 𝐶))))
7465, 73syld 40 . 2 ((((z P w P) (A P B P)) ((v P u P) (𝐶 P 𝐷 P))) → (([⟨z, w⟩] ~R = [⟨A, B⟩] ~R [⟨v, u⟩] ~R = [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ) → ((z +P u)<P (w +P v) ↔ (A +P 𝐷)<P (B +P 𝐶))))
751, 2, 3, 4, 74brecop 6132 1 (((A P B P) (𝐶 P 𝐷 P)) → ([⟨A, B⟩] ~R <R [⟨𝐶, 𝐷⟩] ~R ↔ (A +P 𝐷)<P (B +P 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  [cec 6040  Pcnp 6275   +P cpp 6277  <P cltp 6279   ~R cer 6280  Rcnr 6281   <R cltr 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618
This theorem is referenced by:  gt0srpr  6636  lttrsr  6650  ltposr  6651  ltsosr  6652  0lt1sr  6653  ltasrg  6658  aptisr  6665  mulextsr1  6667  archsr  6668
  Copyright terms: Public domain W3C validator