ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcpi GIF version

Theorem ltdcpi 6421
Description: Less-than for positive integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcpi ((𝐴N𝐵N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)

Proof of Theorem ltdcpi
StepHypRef Expression
1 pinn 6407 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 6407 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nndcel 6078 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴𝐵)
41, 2, 3syl2an 273 . 2 ((𝐴N𝐵N) → DECID 𝐴𝐵)
5 ltpiord 6417 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
65dcbid 748 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (DECID 𝐴 <N 𝐵DECID 𝐴𝐵))
74, 6mpbird 156 1 ((𝐴N𝐵N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  DECID wdc 742  wcel 1393   class class class wbr 3764  ωcom 4313  Ncnpi 6370   <N clti 6373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-ni 6402  df-lti 6405
This theorem is referenced by:  ltdcnq  6495
  Copyright terms: Public domain W3C validator