Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lesub0 GIF version

Theorem lesub0 7474
 Description: Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lesub0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐵𝐴)) ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem lesub0
StepHypRef Expression
1 0red 7028 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 letri3 7099 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
31, 2sylan2 270 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
4 ancom 253 . . 3 ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
5 simpr 103 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 0red 7028 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
7 simpl 102 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 lesub2 7452 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐵 − 0) ≤ (𝐵𝐴)))
95, 6, 7, 8syl3anc 1135 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐵 − 0) ≤ (𝐵𝐴)))
107recnd 7054 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1110subid1d 7311 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
1211breq1d 3774 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 0) ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵𝐴)))
139, 12bitrd 177 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵𝐴)))
1413ancoms 255 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵𝐴)))
1514anbi2d 437 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐵𝐴))))
164, 15syl5bb 181 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐵𝐴))))
173, 16bitr2d 178 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐵𝐴)) ↔ 𝐴 = 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  0cc0 6889   ≤ cle 7061   − cmin 7182 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185 This theorem is referenced by:  lesub0i  7488
 Copyright terms: Public domain W3C validator