Theorem lesub0 7249

Description: Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lesub0	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((0 ≤ A ∧ B ≤ (B − A)) ↔ A = 0))

Proof of Theorem lesub0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 6806	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		letri3 6876	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (A = 0 ↔ (A ≤ 0 ∧ 0 ≤ A)))
3	1, 2	sylan2 270	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A = 0 ↔ (A ≤ 0 ∧ 0 ≤ A)))
4		ancom 253	. . 3 ⊢ ((A ≤ 0 ∧ 0 ≤ A) ↔ (0 ≤ A ∧ A ≤ 0))
5		simpr 103	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → A ∈ ℝ)
6		0red 6806	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
7		simpl 102	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → B ∈ ℝ)
8		lesub2 7227	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A ≤ 0 ↔ (B − 0) ≤ (B − A)))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1134	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (A ≤ 0 ↔ (B − 0) ≤ (B − A)))
10	7	recnd 6831	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → B ∈ ℂ)
11	10	subid1d 7087	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (B − 0) = B)
12	11	breq1d 3765	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → ((B − 0) ≤ (B − A) ↔ B ≤ (B − A)))
13	9, 12	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (A ≤ 0 ↔ B ≤ (B − A)))
14	13	ancoms 255	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A ≤ 0 ↔ B ≤ (B − A)))
15	14	anbi2d 437	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((0 ≤ A ∧ A ≤ 0) ↔ (0 ≤ A ∧ B ≤ (B − A))))
16	4, 15	syl5bb 181	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A ≤ 0 ∧ 0 ≤ A) ↔ (0 ≤ A ∧ B ≤ (B − A))))
17	3, 16	bitr2d 178	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((0 ≤ A ∧ B ≤ (B − A)) ↔ A = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6690  0cc0 6691   ≤ cle 6838   − cmin 6959

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962

This theorem is referenced by:  lesub0i  7263