ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ledivp1 Structured version   GIF version

Theorem ledivp1 7630
Description: Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
ledivp1 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → ((A / (B + 1)) · B) ≤ A)

Proof of Theorem ledivp1
StepHypRef Expression
1 simprl 483 . . 3 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → B ℝ)
2 peano2re 6926 . . . 4 (B ℝ → (B + 1) ℝ)
31, 2syl 14 . . 3 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → (B + 1) ℝ)
4 simpll 481 . . . . 5 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → A ℝ)
5 0red 6806 . . . . . . 7 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → 0 ℝ)
6 simprr 484 . . . . . . 7 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → 0 ≤ B)
7 ltp1 7571 . . . . . . . 8 (B ℝ → B < (B + 1))
81, 7syl 14 . . . . . . 7 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → B < (B + 1))
95, 1, 3, 6, 8lelttrd 6916 . . . . . 6 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → 0 < (B + 1))
103, 9gt0ap0d 7391 . . . . 5 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → (B + 1) # 0)
114, 3, 10redivclapd 7569 . . . 4 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → (A / (B + 1)) ℝ)
12 simpl 102 . . . . 5 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → (A 0 ≤ A))
13 divge0 7600 . . . . 5 (((A 0 ≤ A) ((B + 1) 0 < (B + 1))) → 0 ≤ (A / (B + 1)))
1412, 3, 9, 13syl12anc 1132 . . . 4 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → 0 ≤ (A / (B + 1)))
1511, 14jca 290 . . 3 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → ((A / (B + 1)) 0 ≤ (A / (B + 1))))
161, 3, 8ltled 6912 . . 3 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → B ≤ (B + 1))
17 lemul2a 7586 . . 3 (((B (B + 1) ((A / (B + 1)) 0 ≤ (A / (B + 1)))) B ≤ (B + 1)) → ((A / (B + 1)) · B) ≤ ((A / (B + 1)) · (B + 1)))
181, 3, 15, 16, 17syl31anc 1137 . 2 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → ((A / (B + 1)) · B) ≤ ((A / (B + 1)) · (B + 1)))
194recnd 6831 . . 3 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → A ℂ)
203recnd 6831 . . 3 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → (B + 1) ℂ)
2119, 20, 10divcanap1d 7528 . 2 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → ((A / (B + 1)) · (B + 1)) = A)
2218, 21breqtrd 3779 1 (((A 0 ≤ A) (B 0 ≤ B)) → ((A / (B + 1)) · B) ≤ A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6690  0cc0 6691  1c1 6692   + caddc 6694   · cmul 6696   < clt 6837  cle 6838   / cdiv 7413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-mulrcl 6762  ax-addcom 6763  ax-mulcom 6764  ax-addass 6765  ax-mulass 6766  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-1rid 6770  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-precex 6773  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779  ax-pre-mulgt0 6780  ax-pre-mulext 6781
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-reap 7339  df-ap 7346  df-div 7414
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator