Theorem leabs 9672

Description: A real number is less than or equal to its absolute value. (Contributed by NM, 27-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leabs	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem leabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 103	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (abs‘𝐴) < 0)
2		recn 7014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		absge0 9658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
5	4	ad2antrr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
6		0red 7028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
7		abscl 9649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	ad2antrr 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	lenltd 7134	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → (0 ≤ (abs‘𝐴) ↔ ¬ (abs‘𝐴) < 0))
11	5, 10	mpbid 135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → ¬ (abs‘𝐴) < 0)
12	1, 11	pm2.21fal 1264	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 0) → ⊥)
13		simpll 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		0red 7028	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
15		simpr 103	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	14, 13, 15	ltled 7135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
17		absid 9669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
18	13, 16, 17	syl2anc 391	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
19		simplr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) < 𝐴)
20	18, 19	eqbrtrrd 3786	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 𝐴)
21	13	ltnrd 7129	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22	20, 21	pm2.21fal 1264	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) ∧ 0 < 𝐴) → ⊥)
23		0re 7027	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		axltwlin 7087	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
25	23, 24	mp3an3 1221	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
26	8, 25	mpancom 399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) < 𝐴 → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
27	26	imp 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) → ((abs‘𝐴) < 0 ∨ 0 < 𝐴))
28	12, 22, 27	mpjaodan 711	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) < 𝐴) → ⊥)
29	28	inegd 1263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (abs‘𝐴) < 𝐴)
30		id 19	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
31	30, 8	lenltd 7134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (abs‘𝐴) ↔ ¬ (abs‘𝐴) < 𝐴))
32	29, 31	mpbird 156	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ∨ wo 629   = wceq 1243  ⊥wfal 1248   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889   < clt 7060   ≤ cle 7061  abscabs 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597

This theorem is referenced by:  abslt  9684  absle  9685  abssubap0  9686  releabs  9692  leabsi  9724  leabsd  9757