ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  le2sub Structured version   GIF version

Theorem le2sub 7211
Description: Subtracting both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
le2sub (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A𝐶 𝐷B) → (AB) ≤ (𝐶𝐷)))

Proof of Theorem le2sub
StepHypRef Expression
1 simpll 481 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → A ℝ)
2 simprl 483 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐶 ℝ)
3 simplr 482 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → B ℝ)
4 lesub1 7206 . . . 4 ((A 𝐶 B ℝ) → (A𝐶 ↔ (AB) ≤ (𝐶B)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1134 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A𝐶 ↔ (AB) ≤ (𝐶B)))
6 simprr 484 . . . 4 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐷 ℝ)
7 lesub2 7207 . . . 4 ((𝐷 B 𝐶 ℝ) → (𝐷B ↔ (𝐶B) ≤ (𝐶𝐷)))
86, 3, 2, 7syl3anc 1134 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐷B ↔ (𝐶B) ≤ (𝐶𝐷)))
95, 8anbi12d 442 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A𝐶 𝐷B) ↔ ((AB) ≤ (𝐶B) (𝐶B) ≤ (𝐶𝐷))))
10 resubcl 7031 . . . 4 ((A B ℝ) → (AB) ℝ)
1110adantr 261 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (AB) ℝ)
122, 3resubcld 7135 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐶B) ℝ)
13 resubcl 7031 . . . 4 ((𝐶 𝐷 ℝ) → (𝐶𝐷) ℝ)
1413adantl 262 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (𝐶𝐷) ℝ)
15 letr 6858 . . 3 (((AB) (𝐶B) (𝐶𝐷) ℝ) → (((AB) ≤ (𝐶B) (𝐶B) ≤ (𝐶𝐷)) → (AB) ≤ (𝐶𝐷)))
1611, 12, 14, 15syl3anc 1134 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (((AB) ≤ (𝐶B) (𝐶B) ≤ (𝐶𝐷)) → (AB) ≤ (𝐶𝐷)))
179, 16sylbid 139 1 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((A𝐶 𝐷B) → (AB) ≤ (𝐶𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670  cle 6818  cmin 6939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942
This theorem is referenced by:  le2subd  7310
  Copyright terms: Public domain W3C validator