ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isores3 Structured version   GIF version

Theorem isores3 5398
Description: Induced isomorphism on a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isores3 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) 𝐾A 𝑋 = (𝐻𝐾)) → (𝐻𝐾) Isom 𝑅, 𝑆 (𝐾, 𝑋))

Proof of Theorem isores3
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of1 5068 . . . . . . 7 (𝐻:A1-1-ontoB𝐻:A1-1B)
2 f1ores 5084 . . . . . . . 8 ((𝐻:A1-1B 𝐾A) → (𝐻𝐾):𝐾1-1-onto→(𝐻𝐾))
32expcom 109 . . . . . . 7 (𝐾A → (𝐻:A1-1B → (𝐻𝐾):𝐾1-1-onto→(𝐻𝐾)))
41, 3syl5 28 . . . . . 6 (𝐾A → (𝐻:A1-1-ontoB → (𝐻𝐾):𝐾1-1-onto→(𝐻𝐾)))
5 ssralv 2998 . . . . . . 7 (𝐾A → (𝑎 A 𝑏 A (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏)) → 𝑎 𝐾 𝑏 A (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏))))
6 ssralv 2998 . . . . . . . . . 10 (𝐾A → (𝑏 A (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏)) → 𝑏 𝐾 (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏))))
76adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝐾A 𝑎 𝐾) → (𝑏 A (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏)) → 𝑏 𝐾 (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏))))
8 fvres 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 𝐾 → ((𝐻𝐾)‘𝑎) = (𝐻𝑎))
9 fvres 5141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 𝐾 → ((𝐻𝐾)‘𝑏) = (𝐻𝑏))
108, 9breqan12d 3770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 𝐾 𝑏 𝐾) → (((𝐻𝐾)‘𝑎)𝑆((𝐻𝐾)‘𝑏) ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏)))
1110adantll 445 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾A 𝑎 𝐾) 𝑏 𝐾) → (((𝐻𝐾)‘𝑎)𝑆((𝐻𝐾)‘𝑏) ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏)))
1211bibi2d 221 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾A 𝑎 𝐾) 𝑏 𝐾) → ((𝑎𝑅𝑏 ↔ ((𝐻𝐾)‘𝑎)𝑆((𝐻𝐾)‘𝑏)) ↔ (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏))))
1312biimprd 147 . . . . . . . . . 10 (((𝐾A 𝑎 𝐾) 𝑏 𝐾) → ((𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏)) → (𝑎𝑅𝑏 ↔ ((𝐻𝐾)‘𝑎)𝑆((𝐻𝐾)‘𝑏))))
1413ralimdva 2381 . . . . . . . . 9 ((𝐾A 𝑎 𝐾) → (𝑏 𝐾 (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏)) → 𝑏 𝐾 (𝑎𝑅𝑏 ↔ ((𝐻𝐾)‘𝑎)𝑆((𝐻𝐾)‘𝑏))))
157, 14syld 40 . . . . . . . 8 ((𝐾A 𝑎 𝐾) → (𝑏 A (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏)) → 𝑏 𝐾 (𝑎𝑅𝑏 ↔ ((𝐻𝐾)‘𝑎)𝑆((𝐻𝐾)‘𝑏))))
1615ralimdva 2381 . . . . . . 7 (𝐾A → (𝑎 𝐾 𝑏 A (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏)) → 𝑎 𝐾 𝑏 𝐾 (𝑎𝑅𝑏 ↔ ((𝐻𝐾)‘𝑎)𝑆((𝐻𝐾)‘𝑏))))
175, 16syld 40 . . . . . 6 (𝐾A → (𝑎 A 𝑏 A (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏)) → 𝑎 𝐾 𝑏 𝐾 (𝑎𝑅𝑏 ↔ ((𝐻𝐾)‘𝑎)𝑆((𝐻𝐾)‘𝑏))))
184, 17anim12d 318 . . . . 5 (𝐾A → ((𝐻:A1-1-ontoB 𝑎 A 𝑏 A (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏))) → ((𝐻𝐾):𝐾1-1-onto→(𝐻𝐾) 𝑎 𝐾 𝑏 𝐾 (𝑎𝑅𝑏 ↔ ((𝐻𝐾)‘𝑎)𝑆((𝐻𝐾)‘𝑏)))))
19 df-isom 4854 . . . . 5 (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) ↔ (𝐻:A1-1-ontoB 𝑎 A 𝑏 A (𝑎𝑅𝑏 ↔ (𝐻𝑎)𝑆(𝐻𝑏))))
20 df-isom 4854 . . . . 5 ((𝐻𝐾) Isom 𝑅, 𝑆 (𝐾, (𝐻𝐾)) ↔ ((𝐻𝐾):𝐾1-1-onto→(𝐻𝐾) 𝑎 𝐾 𝑏 𝐾 (𝑎𝑅𝑏 ↔ ((𝐻𝐾)‘𝑎)𝑆((𝐻𝐾)‘𝑏))))
2118, 19, 203imtr4g 194 . . . 4 (𝐾A → (𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) → (𝐻𝐾) Isom 𝑅, 𝑆 (𝐾, (𝐻𝐾))))
2221impcom 116 . . 3 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) 𝐾A) → (𝐻𝐾) Isom 𝑅, 𝑆 (𝐾, (𝐻𝐾)))
23 isoeq5 5388 . . 3 (𝑋 = (𝐻𝐾) → ((𝐻𝐾) Isom 𝑅, 𝑆 (𝐾, 𝑋) ↔ (𝐻𝐾) Isom 𝑅, 𝑆 (𝐾, (𝐻𝐾))))
2422, 23syl5ibrcom 146 . 2 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) 𝐾A) → (𝑋 = (𝐻𝐾) → (𝐻𝐾) Isom 𝑅, 𝑆 (𝐾, 𝑋)))
25243impia 1100 1 ((𝐻 Isom 𝑅, 𝑆 (A, B) 𝐾A 𝑋 = (𝐻𝐾)) → (𝐻𝐾) Isom 𝑅, 𝑆 (𝐾, 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wss 2911   class class class wbr 3755  cres 4290  cima 4291  1-1wf1 4842  1-1-ontowf1o 4844  cfv 4845   Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator