Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iser0f GIF version

Theorem iser0f 9251
 Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
iser0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
iser0f (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}))

Proof of Theorem iser0f
Dummy variables 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iser0.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21iser0 9250 . . . 4 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = 0)
3 c0ex 7021 . . . . 5 0 ∈ V
43fvconst2 5377 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
52, 4eqtr4d 2075 . . 3 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘))
65rgen 2374 . 2 𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)
7 id 19 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
8 cnex 7005 . . . . . 6 ℂ ∈ V
98a1i 9 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ℂ ∈ V)
101eleq2i 2104 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
11 0cnd 7020 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 → 0 ∈ ℂ)
124, 11eqeltrd 2114 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
1310, 12sylbir 125 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
1413adantl 262 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {0})‘𝑘) ∈ ℂ)
15 addcl 7006 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
1615adantl 262 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℂ)
177, 9, 14, 16iseqfn 9221 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn (ℤ𝑀))
181fneq2i 4994 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn (ℤ𝑀))
1917, 18sylibr 137 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍)
203fconst 5082 . . . 4 (𝑍 × {0}):𝑍⟶{0}
21 ffn 5046 . . . 4 ((𝑍 × {0}):𝑍⟶{0} → (𝑍 × {0}) Fn 𝑍)
2220, 21ax-mp 7 . . 3 (𝑍 × {0}) Fn 𝑍
23 eqfnfv 5265 . . 3 ((seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
2419, 22, 23sylancl 392 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ)‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
256, 24mpbiri 157 1 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0}), ℂ) = (𝑍 × {0}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  Vcvv 2557  {csn 3375   × cxp 4343   Fn wfn 4897  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  0cc0 6889   + caddc 6892  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  seqcseq 9211 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000  df-iseq 9212 This theorem is referenced by:  iserclim0  9826
 Copyright terms: Public domain W3C validator