ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooval2 Structured version   GIF version

Theorem iooval2 8514
Description: Value of the open interval function. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooval2 ((A * B *) → (A(,)B) = {x ℝ ∣ (A < x x < B)})
Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem iooval2
StepHypRef Expression
1 iooval 8507 . 2 ((A * B *) → (A(,)B) = {x * ∣ (A < x x < B)})
2 inrab2 3204 . . . 4 ({x * ∣ (A < x x < B)} ∩ ℝ) = {x (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (A < x x < B)}
3 ressxr 6826 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
4 sseqin2 3150 . . . . . 6 (ℝ ⊆ ℝ* ↔ (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ)
53, 4mpbi 133 . . . . 5 (ℝ* ∩ ℝ) = ℝ
6 rabeq 2545 . . . . 5 ((ℝ* ∩ ℝ) = ℝ → {x (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (A < x x < B)} = {x ℝ ∣ (A < x x < B)})
75, 6ax-mp 7 . . . 4 {x (ℝ* ∩ ℝ) ∣ (A < x x < B)} = {x ℝ ∣ (A < x x < B)}
82, 7eqtri 2057 . . 3 ({x * ∣ (A < x x < B)} ∩ ℝ) = {x ℝ ∣ (A < x x < B)}
9 elioore 8511 . . . . . 6 (x (A(,)B) → x ℝ)
109ssriv 2943 . . . . 5 (A(,)B) ⊆ ℝ
111, 10syl6eqssr 2990 . . . 4 ((A * B *) → {x * ∣ (A < x x < B)} ⊆ ℝ)
12 df-ss 2925 . . . 4 ({x * ∣ (A < x x < B)} ⊆ ℝ ↔ ({x * ∣ (A < x x < B)} ∩ ℝ) = {x * ∣ (A < x x < B)})
1311, 12sylib 127 . . 3 ((A * B *) → ({x * ∣ (A < x x < B)} ∩ ℝ) = {x * ∣ (A < x x < B)})
148, 13syl5reqr 2084 . 2 ((A * B *) → {x * ∣ (A < x x < B)} = {x ℝ ∣ (A < x x < B)})
151, 14eqtrd 2069 1 ((A * B *) → (A(,)B) = {x ℝ ∣ (A < x x < B)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  {crab 2304  cin 2910  wss 2911   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670  *cxr 6816   < clt 6817  (,)cioo 8487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-ioo 8491
This theorem is referenced by:  elioo2  8520  ioomax  8547  ioopos  8549  dfioo2  8573
  Copyright terms: Public domain W3C validator