Theorem iooshf 8551

Description: Shift the arguments of the open interval function. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
iooshf	⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((A − B) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ A ∈ ((𝐶 + B)(,)(𝐷 + B))))

Proof of Theorem iooshf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddsub 7186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → ((𝐶 + B) < A ↔ 𝐶 < (A − B)))
2	1	3com13 1108	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + B) < A ↔ 𝐶 < (A − B)))
3	2	3expa 1103	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + B) < A ↔ 𝐶 < (A − B)))
4	3	adantrr 448	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 + B) < A ↔ 𝐶 < (A − B)))
5		ltsubadd 7182	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((A − B) < 𝐷 ↔ A < (𝐷 + B)))
6	5	bicomd 129	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (A < (𝐷 + B) ↔ (A − B) < 𝐷))
7	6	3expa 1103	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (A < (𝐷 + B) ↔ (A − B) < 𝐷))
8	7	adantrl 447	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (A < (𝐷 + B) ↔ (A − B) < 𝐷))
9	4, 8	anbi12d 442	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐶 + B) < A ∧ A < (𝐷 + B)) ↔ (𝐶 < (A − B) ∧ (A − B) < 𝐷)))
10		readdcl 6765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (𝐶 + B) ∈ ℝ)
11	10	rexrd 6832	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (𝐶 + B) ∈ ℝ*)
12	11	ad2ant2rl 480	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ)) → (𝐶 + B) ∈ ℝ*)
13		readdcl 6765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (𝐷 + B) ∈ ℝ)
14	13	rexrd 6832	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (𝐷 + B) ∈ ℝ*)
15	14	ad2ant2l 477	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ)) → (𝐷 + B) ∈ ℝ*)
16		rexr 6828	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℝ*)
17	16	ad2antrl 459	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ)) → A ∈ ℝ*)
18		elioo5 8532	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + B) ∈ ℝ* ∧ (𝐷 + B) ∈ ℝ* ∧ A ∈ ℝ*) → (A ∈ ((𝐶 + B)(,)(𝐷 + B)) ↔ ((𝐶 + B) < A ∧ A < (𝐷 + B))))
19	12, 15, 17, 18	syl3anc 1134	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ)) → (A ∈ ((𝐶 + B)(,)(𝐷 + B)) ↔ ((𝐶 + B) < A ∧ A < (𝐷 + B))))
20	19	ancoms 255	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (A ∈ ((𝐶 + B)(,)(𝐷 + B)) ↔ ((𝐶 + B) < A ∧ A < (𝐷 + B))))
21		rexr 6828	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
22	21	ad2antrl 459	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
23		rexr 6828	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℝ*)
24	23	ad2antll 460	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
25		resubcl 7031	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A − B) ∈ ℝ)
26	25	rexrd 6832	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A − B) ∈ ℝ*)
27	26	adantr 261	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (A − B) ∈ ℝ*)
28		elioo5 8532	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ (A − B) ∈ ℝ*) → ((A − B) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (A − B) ∧ (A − B) < 𝐷)))
29	22, 24, 27, 28	syl3anc 1134	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((A − B) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (A − B) ∧ (A − B) < 𝐷)))
30	9, 20, 29	3bitr4rd 210	1 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((A − B) ∈ (𝐶(,)𝐷) ↔ A ∈ ((𝐶 + B)(,)(𝐷 + B))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6670   + caddc 6674  ℝ^*cxr 6816   < clt 6817   − cmin 6939  (,)cioo 8487

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltadd 6759

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-ioo 8491

This theorem is referenced by: (None)