ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooshf Structured version   GIF version

Theorem iooshf 8551
Description: Shift the arguments of the open interval function. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
iooshf (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((AB) (𝐶(,)𝐷) ↔ A ((𝐶 + B)(,)(𝐷 + B))))

Proof of Theorem iooshf
StepHypRef Expression
1 ltaddsub 7186 . . . . . 6 ((𝐶 B A ℝ) → ((𝐶 + B) < A𝐶 < (AB)))
213com13 1108 . . . . 5 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝐶 + B) < A𝐶 < (AB)))
323expa 1103 . . . 4 (((A B ℝ) 𝐶 ℝ) → ((𝐶 + B) < A𝐶 < (AB)))
43adantrr 448 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((𝐶 + B) < A𝐶 < (AB)))
5 ltsubadd 7182 . . . . . 6 ((A B 𝐷 ℝ) → ((AB) < 𝐷A < (𝐷 + B)))
65bicomd 129 . . . . 5 ((A B 𝐷 ℝ) → (A < (𝐷 + B) ↔ (AB) < 𝐷))
763expa 1103 . . . 4 (((A B ℝ) 𝐷 ℝ) → (A < (𝐷 + B) ↔ (AB) < 𝐷))
87adantrl 447 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A < (𝐷 + B) ↔ (AB) < 𝐷))
94, 8anbi12d 442 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (((𝐶 + B) < A A < (𝐷 + B)) ↔ (𝐶 < (AB) (AB) < 𝐷)))
10 readdcl 6765 . . . . . 6 ((𝐶 B ℝ) → (𝐶 + B) ℝ)
1110rexrd 6832 . . . . 5 ((𝐶 B ℝ) → (𝐶 + B) *)
1211ad2ant2rl 480 . . . 4 (((𝐶 𝐷 ℝ) (A B ℝ)) → (𝐶 + B) *)
13 readdcl 6765 . . . . . 6 ((𝐷 B ℝ) → (𝐷 + B) ℝ)
1413rexrd 6832 . . . . 5 ((𝐷 B ℝ) → (𝐷 + B) *)
1514ad2ant2l 477 . . . 4 (((𝐶 𝐷 ℝ) (A B ℝ)) → (𝐷 + B) *)
16 rexr 6828 . . . . 5 (A ℝ → A *)
1716ad2antrl 459 . . . 4 (((𝐶 𝐷 ℝ) (A B ℝ)) → A *)
18 elioo5 8532 . . . 4 (((𝐶 + B) * (𝐷 + B) * A *) → (A ((𝐶 + B)(,)(𝐷 + B)) ↔ ((𝐶 + B) < A A < (𝐷 + B))))
1912, 15, 17, 18syl3anc 1134 . . 3 (((𝐶 𝐷 ℝ) (A B ℝ)) → (A ((𝐶 + B)(,)(𝐷 + B)) ↔ ((𝐶 + B) < A A < (𝐷 + B))))
2019ancoms 255 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (A ((𝐶 + B)(,)(𝐷 + B)) ↔ ((𝐶 + B) < A A < (𝐷 + B))))
21 rexr 6828 . . . 4 (𝐶 ℝ → 𝐶 *)
2221ad2antrl 459 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐶 *)
23 rexr 6828 . . . 4 (𝐷 ℝ → 𝐷 *)
2423ad2antll 460 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → 𝐷 *)
25 resubcl 7031 . . . . 5 ((A B ℝ) → (AB) ℝ)
2625rexrd 6832 . . . 4 ((A B ℝ) → (AB) *)
2726adantr 261 . . 3 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → (AB) *)
28 elioo5 8532 . . 3 ((𝐶 * 𝐷 * (AB) *) → ((AB) (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (AB) (AB) < 𝐷)))
2922, 24, 27, 28syl3anc 1134 . 2 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((AB) (𝐶(,)𝐷) ↔ (𝐶 < (AB) (AB) < 𝐷)))
309, 20, 293bitr4rd 210 1 (((A B ℝ) (𝐶 𝐷 ℝ)) → ((AB) (𝐶(,)𝐷) ↔ A ((𝐶 + B)(,)(𝐷 + B))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670   + caddc 6674  *cxr 6816   < clt 6817  cmin 6939  (,)cioo 8487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-sub 6941  df-neg 6942  df-ioo 8491
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator