ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioopos Structured version   GIF version

Theorem ioopos 8589
Description: The set of positive reals expressed as an open interval. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioopos (0(,)+∞) = {x ℝ ∣ 0 < x}

Proof of Theorem ioopos
StepHypRef Expression
1 0xr 6869 . . 3 0 *
2 pnfxr 8462 . . 3 +∞ *
3 iooval2 8554 . . 3 ((0 * +∞ *) → (0(,)+∞) = {x ℝ ∣ (0 < x x < +∞)})
41, 2, 3mp2an 402 . 2 (0(,)+∞) = {x ℝ ∣ (0 < x x < +∞)}
5 ltpnf 8472 . . . 4 (x ℝ → x < +∞)
65biantrud 288 . . 3 (x ℝ → (0 < x ↔ (0 < x x < +∞)))
76rabbiia 2541 . 2 {x ℝ ∣ 0 < x} = {x ℝ ∣ (0 < x x < +∞)}
84, 7eqtr4i 2060 1 (0(,)+∞) = {x ℝ ∣ 0 < x}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  {crab 2304   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6710  0cc0 6711  +∞cpnf 6854  *cxr 6856   < clt 6857  (,)cioo 8527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1re 6777  ax-addrcl 6780  ax-rnegex 6792  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-ioo 8531
This theorem is referenced by:  ioorp  8590  repos  8609
  Copyright terms: Public domain W3C validator