ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intasym Structured version   GIF version

Theorem intasym 4652
Description: Two ways of saying a relation is antisymmetric. Definition of antisymmetry in [Schechter] p. 51. (Contributed by NM, 9-Sep-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
intasym ((𝑅𝑅) ⊆ I ↔ xy((x𝑅y y𝑅x) → x = y))
Distinct variable group:   x,y,𝑅

Proof of Theorem intasym
StepHypRef Expression
1 relcnv 4646 . . 3 Rel 𝑅
2 relin2 4399 . . 3 (Rel 𝑅 → Rel (𝑅𝑅))
3 ssrel 4371 . . 3 (Rel (𝑅𝑅) → ((𝑅𝑅) ⊆ I ↔ xy(⟨x, y (𝑅𝑅) → ⟨x, y I )))
41, 2, 3mp2b 8 . 2 ((𝑅𝑅) ⊆ I ↔ xy(⟨x, y (𝑅𝑅) → ⟨x, y I ))
5 elin 3120 . . . . 5 (⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ (⟨x, y 𝑅 x, y 𝑅))
6 df-br 3756 . . . . . 6 (x𝑅y ↔ ⟨x, y 𝑅)
7 vex 2554 . . . . . . . 8 x V
8 vex 2554 . . . . . . . 8 y V
97, 8brcnv 4461 . . . . . . 7 (x𝑅yy𝑅x)
10 df-br 3756 . . . . . . 7 (x𝑅y ↔ ⟨x, y 𝑅)
119, 10bitr3i 175 . . . . . 6 (y𝑅x ↔ ⟨x, y 𝑅)
126, 11anbi12i 433 . . . . 5 ((x𝑅y y𝑅x) ↔ (⟨x, y 𝑅 x, y 𝑅))
135, 12bitr4i 176 . . . 4 (⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ (x𝑅y y𝑅x))
14 df-br 3756 . . . . 5 (x I y ↔ ⟨x, y I )
158ideq 4431 . . . . 5 (x I yx = y)
1614, 15bitr3i 175 . . . 4 (⟨x, y I ↔ x = y)
1713, 16imbi12i 228 . . 3 ((⟨x, y (𝑅𝑅) → ⟨x, y I ) ↔ ((x𝑅y y𝑅x) → x = y))
18172albii 1357 . 2 (xy(⟨x, y (𝑅𝑅) → ⟨x, y I ) ↔ xy((x𝑅y y𝑅x) → x = y))
194, 18bitri 173 1 ((𝑅𝑅) ⊆ I ↔ xy((x𝑅y y𝑅x) → x = y))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   wcel 1390  cin 2910  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755   I cid 4016  ccnv 4287  Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator