Theorem imval2 9082

Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
imval2	⊢ (A ∈ ℂ → (ℑ‘A) = ((A − (∗‘A)) / (2 · i)))

Proof of Theorem imval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imcl 9042	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℑ‘A) ∈ ℝ)
2	1	recnd 6811	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℑ‘A) ∈ ℂ)
3		2mulicn 7884	. . . 4 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
4		2muliap0 7886	. . . 4 ⊢ (2 · i) # 0
5		divcanap4 7418	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘A) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) # 0) → (((ℑ‘A) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘A))
6	3, 4, 5	mp3an23 1223	. . 3 ⊢ ((ℑ‘A) ∈ ℂ → (((ℑ‘A) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘A))
7	2, 6	syl 14	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (((ℑ‘A) · (2 · i)) / (2 · i)) = (ℑ‘A))
8		recl 9041	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℜ‘A) ∈ ℝ)
9	8	recnd 6811	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℜ‘A) ∈ ℂ)
10		ax-icn 6738	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
11		mulcl 6766	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘A) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ∈ ℂ)
12	10, 2, 11	sylancr 393	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (i · (ℑ‘A)) ∈ ℂ)
13	9, 12	addcld 6804	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) ∈ ℂ)
14	13, 9, 12	subsubd 7106	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))) = ((((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) − (ℜ‘A)) + (i · (ℑ‘A))))
15		replim 9047	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → A = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))))
16		remim 9048	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗‘A) = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))
17	15, 16	oveq12d 5473	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → (A − (∗‘A)) = (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) − ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A)))))
18	12	2timesd 7904	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (2 · (i · (ℑ‘A))) = ((i · (ℑ‘A)) + (i · (ℑ‘A))))
19		mulcom 6768	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℑ‘A) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ) → ((ℑ‘A) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘A)))
20	3, 19	mpan2 401	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘A) ∈ ℂ → ((ℑ‘A) · (2 · i)) = ((2 · i) · (ℑ‘A)))
21		2cn 7726	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
22		mulass 6770	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘A) ∈ ℂ) → ((2 · i) · (ℑ‘A)) = (2 · (i · (ℑ‘A))))
23	21, 10, 22	mp3an12 1221	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘A) ∈ ℂ → ((2 · i) · (ℑ‘A)) = (2 · (i · (ℑ‘A))))
24	20, 23	eqtrd 2069	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘A) ∈ ℂ → ((ℑ‘A) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘A))))
25	2, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → ((ℑ‘A) · (2 · i)) = (2 · (i · (ℑ‘A))))
26	9, 12	pncan2d 7080	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) − (ℜ‘A)) = (i · (ℑ‘A)))
27	26	oveq1d 5470	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → ((((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) − (ℜ‘A)) + (i · (ℑ‘A))) = ((i · (ℑ‘A)) + (i · (ℑ‘A))))
28	18, 25, 27	3eqtr4d 2079	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ((ℑ‘A) · (2 · i)) = ((((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) − (ℜ‘A)) + (i · (ℑ‘A))))
29	14, 17, 28	3eqtr4rd 2080	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → ((ℑ‘A) · (2 · i)) = (A − (∗‘A)))
30	29	oveq1d 5470	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (((ℑ‘A) · (2 · i)) / (2 · i)) = ((A − (∗‘A)) / (2 · i)))
31	7, 30	eqtr3d 2071	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (ℑ‘A) = ((A − (∗‘A)) / (2 · i)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℂcc 6669  0cc0 6671  ici 6673   + caddc 6674   · cmul 6676   − cmin 6939   # cap 7325   / cdiv 7393  2c2 7704  ∗ccj 9027  ℜcre 9028  ℑcim 9029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-2 7713  df-cj 9030  df-re 9031  df-im 9032

This theorem is referenced by: (None)