ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imadd GIF version

Theorem imadd 9105
Description: Imaginary part distributes over addition. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imadd ((A B ℂ) → (ℑ‘(A + B)) = ((ℑ‘A) + (ℑ‘B)))

Proof of Theorem imadd
StepHypRef Expression
1 recl 9081 . . . . . . 7 (A ℂ → (ℜ‘A) ℝ)
21adantr 261 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (ℜ‘A) ℝ)
32recnd 6851 . . . . 5 ((A B ℂ) → (ℜ‘A) ℂ)
4 ax-icn 6778 . . . . . 6 i
5 imcl 9082 . . . . . . . 8 (A ℂ → (ℑ‘A) ℝ)
65adantr 261 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (ℑ‘A) ℝ)
76recnd 6851 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (ℑ‘A) ℂ)
8 mulcl 6806 . . . . . 6 ((i (ℑ‘A) ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
94, 7, 8sylancr 393 . . . . 5 ((A B ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
10 recl 9081 . . . . . . 7 (B ℂ → (ℜ‘B) ℝ)
1110adantl 262 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (ℜ‘B) ℝ)
1211recnd 6851 . . . . 5 ((A B ℂ) → (ℜ‘B) ℂ)
13 imcl 9082 . . . . . . . 8 (B ℂ → (ℑ‘B) ℝ)
1413adantl 262 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (ℑ‘B) ℝ)
1514recnd 6851 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (ℑ‘B) ℂ)
16 mulcl 6806 . . . . . 6 ((i (ℑ‘B) ℂ) → (i · (ℑ‘B)) ℂ)
174, 15, 16sylancr 393 . . . . 5 ((A B ℂ) → (i · (ℑ‘B)) ℂ)
183, 9, 12, 17add4d 6977 . . . 4 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) + ((ℜ‘B) + (i · (ℑ‘B)))) = (((ℜ‘A) + (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) + (i · (ℑ‘B)))))
19 replim 9087 . . . . 5 (A ℂ → A = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))))
20 replim 9087 . . . . 5 (B ℂ → B = ((ℜ‘B) + (i · (ℑ‘B))))
2119, 20oveqan12d 5474 . . . 4 ((A B ℂ) → (A + B) = (((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) + ((ℜ‘B) + (i · (ℑ‘B)))))
224a1i 9 . . . . . 6 ((A B ℂ) → i ℂ)
2322, 7, 15adddid 6849 . . . . 5 ((A B ℂ) → (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘B))) = ((i · (ℑ‘A)) + (i · (ℑ‘B))))
2423oveq2d 5471 . . . 4 ((A B ℂ) → (((ℜ‘A) + (ℜ‘B)) + (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘B)))) = (((ℜ‘A) + (ℜ‘B)) + ((i · (ℑ‘A)) + (i · (ℑ‘B)))))
2518, 21, 243eqtr4d 2079 . . 3 ((A B ℂ) → (A + B) = (((ℜ‘A) + (ℜ‘B)) + (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘B)))))
2625fveq2d 5125 . 2 ((A B ℂ) → (ℑ‘(A + B)) = (ℑ‘(((ℜ‘A) + (ℜ‘B)) + (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘B))))))
27 readdcl 6805 . . . 4 (((ℜ‘A) (ℜ‘B) ℝ) → ((ℜ‘A) + (ℜ‘B)) ℝ)
281, 10, 27syl2an 273 . . 3 ((A B ℂ) → ((ℜ‘A) + (ℜ‘B)) ℝ)
29 readdcl 6805 . . . 4 (((ℑ‘A) (ℑ‘B) ℝ) → ((ℑ‘A) + (ℑ‘B)) ℝ)
305, 13, 29syl2an 273 . . 3 ((A B ℂ) → ((ℑ‘A) + (ℑ‘B)) ℝ)
31 crim 9086 . . 3 ((((ℜ‘A) + (ℜ‘B)) ((ℑ‘A) + (ℑ‘B)) ℝ) → (ℑ‘(((ℜ‘A) + (ℜ‘B)) + (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘B))))) = ((ℑ‘A) + (ℑ‘B)))
3228, 30, 31syl2anc 391 . 2 ((A B ℂ) → (ℑ‘(((ℜ‘A) + (ℜ‘B)) + (i · ((ℑ‘A) + (ℑ‘B))))) = ((ℑ‘A) + (ℑ‘B)))
3326, 32eqtrd 2069 1 ((A B ℂ) → (ℑ‘(A + B)) = ((ℑ‘A) + (ℑ‘B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6709  cr 6710  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716  cre 9068  cim 9069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-2 7753  df-cj 9070  df-re 9071  df-im 9072
This theorem is referenced by:  imsub  9106  cjadd  9112  imaddi  9157  imaddd  9187
  Copyright terms: Public domain W3C validator