ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccssico2 GIF version

Theorem iccssico2 8816
Description: Condition for a closed interval to be a subset of a closed-below, open-above interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccssico2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem iccssico2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 8763 . . . 4 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
21elmpt2cl1 5699 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
32adantr 261 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41elmpt2cl2 5700 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54adantr 261 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
61elixx3g 8770 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
76simprbi 260 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
87simpld 105 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐴𝐶)
98adantr 261 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
101elixx3g 8770 . . . . 5 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐷 < 𝐵)))
1110simprbi 260 . . . 4 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐴𝐷𝐷 < 𝐵))
1211simprd 107 . . 3 (𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐷 < 𝐵)
1312adantl 262 . 2 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐷 < 𝐵)
14 iccssico 8814 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
153, 5, 9, 13, 14syl22anc 1136 1 ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3a 885  wcel 1393  {crab 2310  wss 2917   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  *cxr 7059   < clt 7060  cle 7061  [,)cico 8759  [,]cicc 8760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-ico 8763  df-icc 8764
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator