Theorem iccshftli 8865

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshftli.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
iccshftli.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
iccshftli.3	⊢ 𝑅 ∈ ℝ
iccshftli.4	⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
iccshftli.5	⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccshftli	⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Proof of Theorem iccshftli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccshftli.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		iccshftli.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		iccssre 8824	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 402	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
5	4	sseli 2941	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		iccshftli.3	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
7		iccshftli.4	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
8		iccshftli.5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷
9	7, 8	iccshftl 8864	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
10	1, 2, 9	mpanl12 412	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
11	6, 10	mpan2 401	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
12	11	biimpd 132	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
13	5, 12	mpcom 32	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ⊆ wss 2917  (class class class)co 5512  ℝcr 6888   − cmin 7182  [,]cicc 8760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-icc 8764

This theorem is referenced by: (None)