ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0ne0d GIF version

Theorem gt0ne0d 7504
Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
gt0ne0d.1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
gt0ne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d
StepHypRef Expression
1 0re 7027 . 2 0 ∈ ℝ
2 gt0ne0d.1 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 ltne 7103 . 2 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
41, 2, 3sylancr 393 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1393  wne 2204   class class class wbr 3764  cr 6888  0cc0 6889   < clt 7060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1re 6978  ax-addrcl 6981  ax-rnegex 6993  ax-pre-ltirr 6996
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-ltxr 7065
This theorem is referenced by:  modqval  9166  modqvalr  9167  modqcl  9168  flqpmodeq  9169  modq0  9171  modqge0  9174  modqlt  9175  modqdiffl  9177  modqdifz  9178
  Copyright terms: Public domain W3C validator