Theorem ge0addcl 8620

Description: The nonnegative reals are closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ge0addcl	⊢ ((A ∈ (0[,)+∞) ∧ B ∈ (0[,)+∞)) → (A + B) ∈ (0[,)+∞))

Proof of Theorem ge0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 8615	. 2 ⊢ (A ∈ (0[,)+∞) ↔ (A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A))
2		elrege0 8615	. 2 ⊢ (B ∈ (0[,)+∞) ↔ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B))
3		readdcl 6805	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A + B) ∈ ℝ)
4	3	ad2ant2r 478	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → (A + B) ∈ ℝ)
5		addge0 7241	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ A ∧ 0 ≤ B)) → 0 ≤ (A + B))
6	5	an4s 522	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → 0 ≤ (A + B))
7		elrege0 8615	. . 3 ⊢ ((A + B) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((A + B) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (A + B)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 394	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ 0 ≤ A) ∧ (B ∈ ℝ ∧ 0 ≤ B)) → (A + B) ∈ (0[,)+∞))
9	1, 2, 8	syl2anb 275	1 ⊢ ((A ∈ (0[,)+∞) ∧ B ∈ (0[,)+∞)) → (A + B) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  0cc0 6711   + caddc 6714  +∞cpnf 6854   ≤ cle 6858  [,)cico 8529

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-ico 8533

This theorem is referenced by: (None)