ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fztp GIF version

Theorem fztp 8940
Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fztp (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 2)) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})

Proof of Theorem fztp
StepHypRef Expression
1 uzid 8487 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2 peano2uz 8526 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
3 fzsuc 8931 . . 3 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}))
41, 2, 33syl 17 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}))
5 zcn 8250 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
6 ax-1cn 6977 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7 addass 7011 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
86, 6, 7mp3an23 1224 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
95, 8syl 14 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
10 df-2 7973 . . . . 5 2 = (1 + 1)
1110oveq2i 5523 . . . 4 (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
129, 11syl6eqr 2090 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
1312oveq2d 5528 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = (𝑀...(𝑀 + 2)))
14 fzpr 8939 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
1512sneqd 3388 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 + 1) + 1)} = {(𝑀 + 2)})
1614, 15uneq12d 3098 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}) = ({𝑀, (𝑀 + 1)} ∪ {(𝑀 + 2)}))
17 df-tp 3383 . . 3 {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)} = ({𝑀, (𝑀 + 1)} ∪ {(𝑀 + 2)})
1816, 17syl6eqr 2090 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})
194, 13, 183eqtr3d 2080 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 2)) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1243  wcel 1393  cun 2915  {csn 3375  {cpr 3376  {ctp 3377  cfv 4902  (class class class)co 5512  cc 6887  1c1 6890   + caddc 6892  2c2 7964  cz 8245  cuz 8473  ...cfz 8874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-tp 3383  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-2 7973  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875
This theorem is referenced by:  fztpval  8945  fz0tp  8981  fzo0to3tp  9075
  Copyright terms: Public domain W3C validator