ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzss1 GIF version

Theorem fzss1 8926
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 8886 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
2 id 19 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
3 uztrn 8489 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
41, 2, 3syl2anr 274 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5 elfzuz3 8887 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
65adantl 262 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
7 elfzuzb 8884 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑘)))
84, 6, 7sylanbrc 394 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
98ex 108 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
109ssrdv 2951 1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wcel 1393  wss 2917  cfv 4902  (class class class)co 5512  cuz 8473  ...cfz 8874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltwlin 6997
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-neg 7185  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875
This theorem is referenced by:  fzp1ss  8935  ige2m1fz  8972  fzoss1  9027  fzossnn0  9031  isermono  9237  iseqsplit  9238
  Copyright terms: Public domain W3C validator