ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzsplit2 Structured version   GIF version

Theorem fzsplit2 8664
Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzsplit2 (((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit2
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 8640 . . . . . 6 (x (𝑀...𝑁) → x ℤ)
2 eluzel2 8234 . . . . . . 7 (𝑁 (ℤ𝐾) → 𝐾 ℤ)
32adantl 262 . . . . . 6 (((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) → 𝐾 ℤ)
4 zlelttric 8046 . . . . . 6 ((x 𝐾 ℤ) → (x𝐾 𝐾 < x))
51, 3, 4syl2anr 274 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝑁)) → (x𝐾 𝐾 < x))
6 elfzuz 8636 . . . . . . 7 (x (𝑀...𝑁) → x (ℤ𝑀))
7 elfz5 8632 . . . . . . 7 ((x (ℤ𝑀) 𝐾 ℤ) → (x (𝑀...𝐾) ↔ x𝐾))
86, 3, 7syl2anr 274 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝑁)) → (x (𝑀...𝐾) ↔ x𝐾))
9 simpl 102 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) (ℤ𝑀))
10 eluzelz 8238 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ℤ)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ℤ)
12 eluz 8242 . . . . . . . 8 (((𝐾 + 1) x ℤ) → (x (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ x))
1311, 1, 12syl2an 273 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝑁)) → (x (ℤ‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ x))
14 elfzuz3 8637 . . . . . . . . 9 (x (𝑀...𝑁) → 𝑁 (ℤx))
1514adantl 262 . . . . . . . 8 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝑁)) → 𝑁 (ℤx))
16 elfzuzb 8634 . . . . . . . . 9 (x ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ (x (ℤ‘(𝐾 + 1)) 𝑁 (ℤx)))
1716rbaib 829 . . . . . . . 8 (𝑁 (ℤx) → (x ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ x (ℤ‘(𝐾 + 1))))
1815, 17syl 14 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝑁)) → (x ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ x (ℤ‘(𝐾 + 1))))
19 zltp1le 8054 . . . . . . . 8 ((𝐾 x ℤ) → (𝐾 < x ↔ (𝐾 + 1) ≤ x))
203, 1, 19syl2an 273 . . . . . . 7 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝑁)) → (𝐾 < x ↔ (𝐾 + 1) ≤ x))
2113, 18, 203bitr4d 209 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝑁)) → (x ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝐾 < x))
228, 21orbi12d 706 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝑁)) → ((x (𝑀...𝐾) x ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (x𝐾 𝐾 < x)))
235, 22mpbird 156 . . . 4 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝑁)) → (x (𝑀...𝐾) x ((𝐾 + 1)...𝑁)))
24 elfzuz 8636 . . . . . . 7 (x (𝑀...𝐾) → x (ℤ𝑀))
2524adantl 262 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝐾)) → x (ℤ𝑀))
26 simpr 103 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) → 𝑁 (ℤ𝐾))
27 elfzuz3 8637 . . . . . . 7 (x (𝑀...𝐾) → 𝐾 (ℤx))
28 uztrn 8245 . . . . . . 7 ((𝑁 (ℤ𝐾) 𝐾 (ℤx)) → 𝑁 (ℤx))
2926, 27, 28syl2an 273 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝐾)) → 𝑁 (ℤx))
30 elfzuzb 8634 . . . . . 6 (x (𝑀...𝑁) ↔ (x (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤx)))
3125, 29, 30sylanbrc 394 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x (𝑀...𝐾)) → x (𝑀...𝑁))
32 elfzuz 8636 . . . . . . 7 (x ((𝐾 + 1)...𝑁) → x (ℤ‘(𝐾 + 1)))
33 uztrn 8245 . . . . . . 7 ((x (ℤ‘(𝐾 + 1)) (𝐾 + 1) (ℤ𝑀)) → x (ℤ𝑀))
3432, 9, 33syl2anr 274 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x ((𝐾 + 1)...𝑁)) → x (ℤ𝑀))
35 elfzuz3 8637 . . . . . . 7 (x ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑁 (ℤx))
3635adantl 262 . . . . . 6 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑁 (ℤx))
3734, 36, 30sylanbrc 394 . . . . 5 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) x ((𝐾 + 1)...𝑁)) → x (𝑀...𝑁))
3831, 37jaodan 709 . . . 4 ((((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) (x (𝑀...𝐾) x ((𝐾 + 1)...𝑁))) → x (𝑀...𝑁))
3923, 38impbida 528 . . 3 (((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) → (x (𝑀...𝑁) ↔ (x (𝑀...𝐾) x ((𝐾 + 1)...𝑁))))
40 elun 3078 . . 3 (x ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (x (𝑀...𝐾) x ((𝐾 + 1)...𝑁)))
4139, 40syl6bbr 187 . 2 (((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) → (x (𝑀...𝑁) ↔ x ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
4241eqrdv 2035 1 (((𝐾 + 1) (ℤ𝑀) 𝑁 (ℤ𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  cun 2909   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  1c1 6692   + caddc 6694   < clt 6837  cle 6838  cz 8001  cuz 8229  ...cfz 8624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625
This theorem is referenced by:  fzsplit  8665  fzpred  8682
  Copyright terms: Public domain W3C validator