Theorem fzsplit2 8684

Description: Split a finite interval of integers into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fzsplit2	⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzsplit2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 8660	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ (𝑀...𝑁) → x ∈ ℤ)
2		eluzel2 8254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		zlelttric 8066	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (x ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < x))
5	1, 3, 4	syl2anr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝑁)) → (x ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < x))
6		elfzuz 8656	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (𝑀...𝑁) → x ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		elfz5 8652	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (x ∈ (𝑀...𝐾) ↔ x ≤ 𝐾))
8	6, 3, 7	syl2anr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝑁)) → (x ∈ (𝑀...𝐾) ↔ x ≤ 𝐾))
9		simpl 102	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzelz 8258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
12		eluz 8262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ x ∈ ℤ) → (x ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ x))
13	11, 1, 12	syl2an 273	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝑁)) → (x ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ↔ (𝐾 + 1) ≤ x))
14		elfzuz3 8657	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘x))
15	14	adantl 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘x))
16		elfzuzb 8654	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ (x ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘x)))
17	16	rbaib 829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘x) → (x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ x ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
18	15, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝑁)) → (x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ x ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
19		zltp1le 8074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ x ∈ ℤ) → (𝐾 < x ↔ (𝐾 + 1) ≤ x))
20	3, 1, 19	syl2an 273	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 < x ↔ (𝐾 + 1) ≤ x))
21	13, 18, 20	3bitr4d 209	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝑁)) → (x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ 𝐾 < x))
22	8, 21	orbi12d 706	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝑁)) → ((x ∈ (𝑀...𝐾) ∨ x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (x ≤ 𝐾 ∨ 𝐾 < x)))
23	5, 22	mpbird 156	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝑁)) → (x ∈ (𝑀...𝐾) ∨ x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
24		elfzuz 8656	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (𝑀...𝐾) → x ∈ (ℤ≥‘𝑀))
25	24	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝐾)) → x ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		simpr 103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
27		elfzuz3 8657	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘x))
28		uztrn 8265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘x)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘x))
29	26, 27, 28	syl2an 273	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘x))
30		elfzuzb 8654	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (x ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘x)))
31	25, 29, 30	sylanbrc 394	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ (𝑀...𝐾)) → x ∈ (𝑀...𝑁))
32		elfzuz 8656	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → x ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
33		uztrn 8265	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → x ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	32, 9, 33	syl2anr 274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → x ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35		elfzuz3 8657	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘x))
36	35	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘x))
37	34, 36, 30	sylanbrc 394	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → x ∈ (𝑀...𝑁))
38	31, 37	jaodan 709	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (x ∈ (𝑀...𝐾) ∨ x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))) → x ∈ (𝑀...𝑁))
39	23, 38	impbida 528	. . 3 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (x ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (x ∈ (𝑀...𝐾) ∨ x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
40		elun 3078	. . 3 ⊢ (x ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)) ↔ (x ∈ (𝑀...𝐾) ∨ x ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)))
41	39, 40	syl6bbr 187	. 2 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (x ∈ (𝑀...𝑁) ↔ x ∈ ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁))))
42	41	eqrdv 2035	1 ⊢ (((𝐾 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝐾) ∪ ((𝐾 + 1)...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ∪ cun 2909   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857   ≤ cle 6858  ℤcz 8021  ℤ_≥cuz 8249  ...cfz 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645

This theorem is referenced by:  fzsplit  8685  fzpred  8702