ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzshftral Structured version   GIF version

Theorem fzshftral 8700
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzshftral ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φ𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]φ))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   φ,𝑘
Allowed substitution hint:   φ(𝑗)

Proof of Theorem fzshftral
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 7992 . . . 4 0
2 fzrevral 8697 . . . 4 ((𝑀 𝑁 0 ℤ) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φx ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − x) / 𝑗]φ))
31, 2mp3an3 1220 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φx ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − x) / 𝑗]φ))
433adant3 923 . 2 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φx ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − x) / 𝑗]φ))
5 zsubcl 8022 . . . . 5 ((0 𝑁 ℤ) → (0 − 𝑁) ℤ)
61, 5mpan 400 . . . 4 (𝑁 ℤ → (0 − 𝑁) ℤ)
7 zsubcl 8022 . . . . 5 ((0 𝑀 ℤ) → (0 − 𝑀) ℤ)
81, 7mpan 400 . . . 4 (𝑀 ℤ → (0 − 𝑀) ℤ)
9 id 19 . . . 4 (𝐾 ℤ → 𝐾 ℤ)
10 fzrevral 8697 . . . 4 (((0 − 𝑁) (0 − 𝑀) 𝐾 ℤ) → (x ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − x) / 𝑗]φ𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / x][(0 − x) / 𝑗]φ))
116, 8, 9, 10syl3an 1176 . . 3 ((𝑁 𝑀 𝐾 ℤ) → (x ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − x) / 𝑗]φ𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / x][(0 − x) / 𝑗]φ))
12113com12 1107 . 2 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (x ((0 − 𝑁)...(0 − 𝑀))[(0 − x) / 𝑗]φ𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / x][(0 − x) / 𝑗]φ))
13 elfzelz 8620 . . . . . 6 (𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) → 𝑘 ℤ)
14 zsubcl 8022 . . . . . . 7 ((𝐾 𝑘 ℤ) → (𝐾𝑘) ℤ)
15 oveq2 5463 . . . . . . . 8 (x = (𝐾𝑘) → (0 − x) = (0 − (𝐾𝑘)))
1615sbcco3g 2897 . . . . . . 7 ((𝐾𝑘) ℤ → ([(𝐾𝑘) / x][(0 − x) / 𝑗]φ[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]φ))
1714, 16syl 14 . . . . . 6 ((𝐾 𝑘 ℤ) → ([(𝐾𝑘) / x][(0 − x) / 𝑗]φ[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]φ))
1813, 17sylan2 270 . . . . 5 ((𝐾 𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))) → ([(𝐾𝑘) / x][(0 − x) / 𝑗]φ[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]φ))
1918ralbidva 2316 . . . 4 (𝐾 ℤ → (𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / x][(0 − x) / 𝑗]φ𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]φ))
20193ad2ant3 926 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / x][(0 − x) / 𝑗]φ𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]φ))
21 zcn 7986 . . . . 5 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℂ)
22 zcn 7986 . . . . 5 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℂ)
23 zcn 7986 . . . . 5 (𝐾 ℤ → 𝐾 ℂ)
24 df-neg 6942 . . . . . . . . . 10 -𝑀 = (0 − 𝑀)
2524oveq2i 5466 . . . . . . . . 9 (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 − (0 − 𝑀))
26 subneg 7016 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 𝑀 ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝐾 + 𝑀))
27 addcom 6907 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 𝑀 ℂ) → (𝐾 + 𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
2826, 27eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 ((𝐾 𝑀 ℂ) → (𝐾 − -𝑀) = (𝑀 + 𝐾))
2925, 28syl5eqr 2083 . . . . . . . 8 ((𝐾 𝑀 ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
30293adant3 923 . . . . . . 7 ((𝐾 𝑀 𝑁 ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑀)) = (𝑀 + 𝐾))
31 df-neg 6942 . . . . . . . . . 10 -𝑁 = (0 − 𝑁)
3231oveq2i 5466 . . . . . . . . 9 (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 − (0 − 𝑁))
33 subneg 7016 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 𝑁 ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝐾 + 𝑁))
34 addcom 6907 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 𝑁 ℂ) → (𝐾 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
3533, 34eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 ((𝐾 𝑁 ℂ) → (𝐾 − -𝑁) = (𝑁 + 𝐾))
3632, 35syl5eqr 2083 . . . . . . . 8 ((𝐾 𝑁 ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
37363adant2 922 . . . . . . 7 ((𝐾 𝑀 𝑁 ℂ) → (𝐾 − (0 − 𝑁)) = (𝑁 + 𝐾))
3830, 37oveq12d 5473 . . . . . 6 ((𝐾 𝑀 𝑁 ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
39383coml 1110 . . . . 5 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℂ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4021, 22, 23, 39syl3an 1176 . . . 4 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁))) = ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4140raleqdv 2505 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]φ𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]φ))
42 elfzelz 8620 . . . . . . . 8 (𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ℤ)
4342zcnd 8097 . . . . . . 7 (𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑘 ℂ)
44 df-neg 6942 . . . . . . . 8 -(𝐾𝑘) = (0 − (𝐾𝑘))
45 negsubdi2 7026 . . . . . . . 8 ((𝐾 𝑘 ℂ) → -(𝐾𝑘) = (𝑘𝐾))
4644, 45syl5eqr 2083 . . . . . . 7 ((𝐾 𝑘 ℂ) → (0 − (𝐾𝑘)) = (𝑘𝐾))
4723, 43, 46syl2an 273 . . . . . 6 ((𝐾 𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (0 − (𝐾𝑘)) = (𝑘𝐾))
4847sbceq1d 2763 . . . . 5 ((𝐾 𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → ([(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]φ[(𝑘𝐾) / 𝑗]φ))
4948ralbidva 2316 . . . 4 (𝐾 ℤ → (𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]φ𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]φ))
50493ad2ant3 926 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(0 − (𝐾𝑘)) / 𝑗]φ𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]φ))
5120, 41, 503bitrd 203 . 2 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 ((𝐾 − (0 − 𝑀))...(𝐾 − (0 − 𝑁)))[(𝐾𝑘) / x][(0 − x) / 𝑗]φ𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]φ))
524, 12, 513bitrd 203 1 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φ𝑘 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))[(𝑘𝐾) / 𝑗]φ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  [wsbc 2758  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671   + caddc 6674  cmin 6939  -cneg 6940  cz 7981  ...cfz 8604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-fz 8605
This theorem is referenced by:  fzoshftral  8824
  Copyright terms: Public domain W3C validator