ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzrevral Structured version   GIF version

Theorem fzrevral 8717
Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φ𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   φ,𝑘
Allowed substitution hint:   φ(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . . . . . . . 8 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 ℤ) 𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
2 elfzelz 8640 . . . . . . . . 9 (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → 𝑘 ℤ)
3 fzrev 8696 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 𝑁 ℤ) (𝐾 𝑘 ℤ)) → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) (𝑀...𝑁)))
43anassrs 380 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 ℤ) 𝑘 ℤ) → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) (𝑀...𝑁)))
52, 4sylan2 270 . . . . . . . 8 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 ℤ) 𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) (𝑀...𝑁)))
61, 5mpbid 135 . . . . . . 7 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 ℤ) 𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝐾𝑘) (𝑀...𝑁))
7 rspsbc 2834 . . . . . . 7 ((𝐾𝑘) (𝑀...𝑁) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φ[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ))
86, 7syl 14 . . . . . 6 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 ℤ) 𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φ[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ))
98ex 108 . . . . 5 (((𝑀 𝑁 ℤ) 𝐾 ℤ) → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φ[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ)))
1093impa 1098 . . . 4 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φ[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ)))
1110com23 72 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φ → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → [(𝐾𝑘) / 𝑗]φ)))
1211ralrimdv 2392 . 2 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φ𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ))
13 nfv 1418 . . . 4 𝑗 𝐾
14 nfcv 2175 . . . . 5 𝑗((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))
15 nfsbc1v 2776 . . . . 5 𝑗[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ
1614, 15nfralxy 2354 . . . 4 𝑗𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ
17 fzrev2i 8698 . . . . . . . 8 ((𝐾 𝑗 (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑗) ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
18 oveq2 5463 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑗) → (𝐾𝑘) = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
1918sbceq1d 2763 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑗) → ([(𝐾𝑘) / 𝑗]φ[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]φ))
2019rspcv 2646 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑗) ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]φ))
2117, 20syl 14 . . . . . . 7 ((𝐾 𝑗 (𝑀...𝑁)) → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]φ))
22 zcn 8006 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ℤ → 𝐾 ℂ)
23 elfzelz 8640 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 (𝑀...𝑁) → 𝑗 ℤ)
2423zcnd 8117 . . . . . . . . . 10 (𝑗 (𝑀...𝑁) → 𝑗 ℂ)
25 nncan 7016 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 𝑗 ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2622, 24, 25syl2an 273 . . . . . . . . 9 ((𝐾 𝑗 (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2726eqcomd 2042 . . . . . . . 8 ((𝐾 𝑗 (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
28 sbceq1a 2767 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)) → (φ[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]φ))
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((𝐾 𝑗 (𝑀...𝑁)) → (φ[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]φ))
3021, 29sylibrd 158 . . . . . 6 ((𝐾 𝑗 (𝑀...𝑁)) → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φφ))
3130ex 108 . . . . 5 (𝐾 ℤ → (𝑗 (𝑀...𝑁) → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φφ)))
3231com23 72 . . . 4 (𝐾 ℤ → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ → (𝑗 (𝑀...𝑁) → φ)))
3313, 16, 32ralrimd 2391 . . 3 (𝐾 ℤ → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ𝑗 (𝑀...𝑁)φ))
34333ad2ant3 926 . 2 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ𝑗 (𝑀...𝑁)φ))
3512, 34impbid 120 1 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑗 (𝑀...𝑁)φ𝑘 ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]φ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  [wsbc 2758  (class class class)co 5455  cc 6689  cmin 6959  cz 8001  ...cfz 8624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625
This theorem is referenced by:  fzrevral2  8718  fzrevral3  8719  fzshftral  8720
  Copyright terms: Public domain W3C validator