ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoval Structured version   GIF version

Theorem fzoval 8775
Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval (𝑁 ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 8772 . . . 4 (x (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ℤ)
21a1i 9 . . 3 (𝑁 ℤ → (x (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ℤ))
3 elfzel1 8659 . . . 4 (x (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ℤ)
43a1i 9 . . 3 (𝑁 ℤ → (x (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ℤ))
5 peano2zm 8059 . . . . . . 7 (𝑁 ℤ → (𝑁 − 1) ℤ)
6 fzf 8648 . . . . . . . 8 ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
76fovcl 5548 . . . . . . 7 ((𝑀 (𝑁 − 1) ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝒫 ℤ)
85, 7sylan2 270 . . . . . 6 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝒫 ℤ)
9 id 19 . . . . . . . 8 (y = 𝑀y = 𝑀)
10 oveq1 5462 . . . . . . . 8 (z = 𝑁 → (z − 1) = (𝑁 − 1))
119, 10oveqan12d 5474 . . . . . . 7 ((y = 𝑀 z = 𝑁) → (y...(z − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
12 df-fzo 8770 . . . . . . 7 ..^ = (y ℤ, z ℤ ↦ (y...(z − 1)))
1311, 12ovmpt2ga 5572 . . . . . 6 ((𝑀 𝑁 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝒫 ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
148, 13mpd3an3 1232 . . . . 5 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
1514eleq2d 2104 . . . 4 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (x (𝑀..^𝑁) ↔ x (𝑀...(𝑁 − 1))))
1615expcom 109 . . 3 (𝑁 ℤ → (𝑀 ℤ → (x (𝑀..^𝑁) ↔ x (𝑀...(𝑁 − 1)))))
172, 4, 16pm5.21ndd 620 . 2 (𝑁 ℤ → (x (𝑀..^𝑁) ↔ x (𝑀...(𝑁 − 1))))
1817eqrdv 2035 1 (𝑁 ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  𝒫 cpw 3351  (class class class)co 5455  1c1 6712  cmin 6979  cz 8021  ...cfz 8644  ..^cfzo 8769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-fzo 8770
This theorem is referenced by:  elfzo  8776  fzon  8792  fzoss1  8797  fzoss2  8798  fzval3  8830  fzo0to2pr  8844  fzo0to3tp  8845  fzo0to42pr  8846  fzoend  8848  fzofzp1b  8854  elfzom1b  8855  peano2fzor  8858  fzoshftral  8864  fzofig  8889
  Copyright terms: Public domain W3C validator