Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzouzsplit Structured version   GIF version

Theorem fzouzsplit 8785
 Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzouzsplit (B (ℤA) → (ℤA) = ((A..^B) ∪ (ℤB)))

Proof of Theorem fzouzsplit
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 8238 . . . . . . . 8 (B (ℤA) → B ℤ)
2 eluzelz 8238 . . . . . . . 8 (x (ℤA) → x ℤ)
3 zlelttric 8046 . . . . . . . 8 ((B x ℤ) → (Bx x < B))
41, 2, 3syl2an 273 . . . . . . 7 ((B (ℤA) x (ℤA)) → (Bx x < B))
54orcomd 647 . . . . . 6 ((B (ℤA) x (ℤA)) → (x < B Bx))
6 id 19 . . . . . . . 8 (x (ℤA) → x (ℤA))
7 elfzo2 8757 . . . . . . . . . 10 (x (A..^B) ↔ (x (ℤA) B x < B))
8 df-3an 886 . . . . . . . . . 10 ((x (ℤA) B x < B) ↔ ((x (ℤA) B ℤ) x < B))
97, 8bitri 173 . . . . . . . . 9 (x (A..^B) ↔ ((x (ℤA) B ℤ) x < B))
109baib 827 . . . . . . . 8 ((x (ℤA) B ℤ) → (x (A..^B) ↔ x < B))
116, 1, 10syl2anr 274 . . . . . . 7 ((B (ℤA) x (ℤA)) → (x (A..^B) ↔ x < B))
12 eluz 8242 . . . . . . . 8 ((B x ℤ) → (x (ℤB) ↔ Bx))
131, 2, 12syl2an 273 . . . . . . 7 ((B (ℤA) x (ℤA)) → (x (ℤB) ↔ Bx))
1411, 13orbi12d 706 . . . . . 6 ((B (ℤA) x (ℤA)) → ((x (A..^B) x (ℤB)) ↔ (x < B Bx)))
155, 14mpbird 156 . . . . 5 ((B (ℤA) x (ℤA)) → (x (A..^B) x (ℤB)))
1615ex 108 . . . 4 (B (ℤA) → (x (ℤA) → (x (A..^B) x (ℤB))))
17 elun 3078 . . . 4 (x ((A..^B) ∪ (ℤB)) ↔ (x (A..^B) x (ℤB)))
1816, 17syl6ibr 151 . . 3 (B (ℤA) → (x (ℤA) → x ((A..^B) ∪ (ℤB))))
1918ssrdv 2945 . 2 (B (ℤA) → (ℤA) ⊆ ((A..^B) ∪ (ℤB)))
20 elfzouz 8758 . . . . 5 (x (A..^B) → x (ℤA))
2120ssriv 2943 . . . 4 (A..^B) ⊆ (ℤA)
2221a1i 9 . . 3 (B (ℤA) → (A..^B) ⊆ (ℤA))
23 uzss 8249 . . 3 (B (ℤA) → (ℤB) ⊆ (ℤA))
2422, 23unssd 3113 . 2 (B (ℤA) → ((A..^B) ∪ (ℤB)) ⊆ (ℤA))
2519, 24eqssd 2956 1 (B (ℤA) → (ℤA) = ((A..^B) ∪ (ℤB)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ∪ cun 2909   ⊆ wss 2911   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455   < clt 6837   ≤ cle 6838  ℤcz 8001  ℤ≥cuz 8229  ..^cfzo 8749 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625  df-fzo 8750 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator