Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzouzsplit GIF version

Theorem fzouzsplit 9035
 Description: Split an upper integer set into a half-open integer range and another upper integer set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzouzsplit (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (ℤ𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵)))

Proof of Theorem fzouzsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 8482 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2 eluzelz 8482 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
3 zlelttric 8290 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐵𝑥𝑥 < 𝐵))
41, 2, 3syl2an 273 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐵𝑥𝑥 < 𝐵))
54orcomd 648 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥))
6 id 19 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐴))
7 elfzo2 9007 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵))
8 df-3an 887 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
97, 8bitri 173 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 < 𝐵))
109baib 828 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
116, 1, 10syl2anr 274 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ 𝑥 < 𝐵))
12 eluz 8486 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐵) ↔ 𝐵𝑥))
131, 2, 12syl2an 273 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐵) ↔ 𝐵𝑥))
1411, 13orbi12d 707 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) ↔ (𝑥 < 𝐵𝐵𝑥)))
155, 14mpbird 156 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)))
1615ex 108 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵))))
17 elun 3084 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)))
1816, 17syl6ibr 151 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑥 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵))))
1918ssrdv 2951 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (ℤ𝐴) ⊆ ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵)))
20 elfzouz 9008 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐴))
2120ssriv 2949 . . . 4 (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ𝐴)
2221a1i 9 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^𝐵) ⊆ (ℤ𝐴))
23 uzss 8493 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (ℤ𝐵) ⊆ (ℤ𝐴))
2422, 23unssd 3119 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵)) ⊆ (ℤ𝐴))
2519, 24eqssd 2962 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (ℤ𝐴) = ((𝐴..^𝐵) ∪ (ℤ𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ∪ cun 2915   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512   < clt 7060   ≤ cle 7061  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  ..^cfzo 8999 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator