ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzonn0p1p1 GIF version

Theorem fzonn0p1p1 8931
Description: If a nonnegative integer is element of a half-open range of nonnegative integers, increasing this integer by one results in an element of a half- open range of nonnegative integers with the upper bound increased by one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzonn0p1p1 (𝐼 (0..^𝑁) → (𝐼 + 1) (0..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzonn0p1p1
StepHypRef Expression
1 elfzo0 8900 . 2 (𝐼 (0..^𝑁) ↔ (𝐼 0 𝑁 𝐼 < 𝑁))
2 peano2nn0 8090 . . . 4 (𝐼 0 → (𝐼 + 1) 0)
323ad2ant1 925 . . 3 ((𝐼 0 𝑁 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 + 1) 0)
4 peano2nn 7799 . . . 4 (𝑁 ℕ → (𝑁 + 1) ℕ)
543ad2ant2 926 . . 3 ((𝐼 0 𝑁 𝐼 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ℕ)
6 simp3 906 . . . 4 ((𝐼 0 𝑁 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 < 𝑁)
7 nn0re 8058 . . . . 5 (𝐼 0𝐼 ℝ)
8 nnre 7794 . . . . 5 (𝑁 ℕ → 𝑁 ℝ)
9 1red 6932 . . . . 5 (𝐼 < 𝑁 → 1 ℝ)
10 ltadd1 7311 . . . . 5 ((𝐼 𝑁 1 ℝ) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1)))
117, 8, 9, 10syl3an 1177 . . . 4 ((𝐼 0 𝑁 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1)))
126, 11mpbid 135 . . 3 ((𝐼 0 𝑁 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1))
13 elfzo0 8900 . . 3 ((𝐼 + 1) (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) 0 (𝑁 + 1) (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1)))
143, 5, 12, 13syl3anbrc 1088 . 2 ((𝐼 0 𝑁 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 + 1) (0..^(𝑁 + 1)))
151, 14sylbi 114 1 (𝐼 (0..^𝑁) → (𝐼 + 1) (0..^(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 885   wcel 1393   class class class wbr 3758  (class class class)co 5458  cr 6778  0cc0 6779  1c1 6780   + caddc 6782   < clt 6949  cn 7787  0cn0 8049  ..^cfzo 8861
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3866  ax-sep 3869  ax-nul 3877  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223  ax-iinf 4257  ax-cnex 6865  ax-resscn 6866  ax-1cn 6867  ax-1re 6868  ax-icn 6869  ax-addcl 6870  ax-addrcl 6871  ax-mulcl 6872  ax-addcom 6874  ax-addass 6876  ax-distr 6878  ax-i2m1 6879  ax-0id 6882  ax-rnegex 6883  ax-cnre 6885  ax-pre-ltirr 6886  ax-pre-ltwlin 6887  ax-pre-lttrn 6888  ax-pre-ltadd 6890
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-int 3610  df-iun 3653  df-br 3759  df-opab 3813  df-mpt 3814  df-tr 3849  df-eprel 4020  df-id 4024  df-po 4027  df-iso 4028  df-iord 4072  df-on 4074  df-suc 4077  df-iom 4260  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-rn 4302  df-res 4303  df-ima 4304  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fn 4851  df-f 4852  df-f1 4853  df-fo 4854  df-f1o 4855  df-fv 4856  df-riota 5414  df-ov 5461  df-oprab 5462  df-mpt2 5463  df-1st 5712  df-2nd 5713  df-recs 5865  df-irdg 5901  df-1o 5944  df-2o 5945  df-oadd 5948  df-omul 5949  df-er 6046  df-ec 6048  df-qs 6052  df-ni 6292  df-pli 6293  df-mi 6294  df-lti 6295  df-plpq 6332  df-mpq 6333  df-enq 6335  df-nqqs 6336  df-plqqs 6337  df-mqqs 6338  df-1nqqs 6339  df-rq 6340  df-ltnqqs 6341  df-enq0 6412  df-nq0 6413  df-0nq0 6414  df-plq0 6415  df-mq0 6416  df-inp 6454  df-i1p 6455  df-iplp 6456  df-iltp 6458  df-enr 6701  df-nr 6702  df-ltr 6705  df-0r 6706  df-1r 6707  df-0 6786  df-1 6787  df-r 6789  df-lt 6792  df-pnf 6951  df-mnf 6952  df-xr 6953  df-ltxr 6954  df-le 6955  df-sub 7073  df-neg 7074  df-inn 7788  df-n0 8050  df-z 8114  df-uz 8342  df-fz 8737  df-fzo 8862
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator