ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzomaxdiflem GIF version

Theorem fzomaxdiflem 9708
Description: Lemma for fzomaxdif 9709. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzomaxdiflem (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))

Proof of Theorem fzomaxdiflem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9004 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 ∈ ℤ)
21adantl 262 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 elfzoelz 9004 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 261 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℤ)
52, 4zsubcld 8365 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℤ)
65zred 8360 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
76adantr 261 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
82zred 8360 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
94zred 8360 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9subge0d 7526 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (0 ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
1110biimpar 281 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → 0 ≤ (𝐵𝐴))
12 absid 9669 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵𝐴)) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
137, 11, 12syl2anc 391 . 2 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) = (𝐵𝐴))
14 elfzoel1 9002 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶 ∈ ℤ)
1514adantl 262 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℤ)
1615zred 8360 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
178, 16resubcld 7379 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐶) ∈ ℝ)
18 elfzoel2 9003 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
1918adantl 262 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
2019, 15zsubcld 8365 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℤ)
2120zred 8360 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
22 elfzole1 9011 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐶𝐴)
2322adantr 261 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐶𝐴)
2416, 9, 8, 23lesub2dd 7553 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) ≤ (𝐵𝐶))
2519zred 8360 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
26 elfzolt2 9012 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷) → 𝐵 < 𝐷)
2726adantl 262 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 𝐵 < 𝐷)
288, 25, 16, 27ltsub1dd 7548 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐶) < (𝐷𝐶))
296, 17, 21, 24, 28lelttrd 7139 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))
3029adantr 261 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))
31 0zd 8257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → 0 ∈ ℤ)
32 elfzo 9006 . . . . 5 (((𝐵𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
335, 31, 20, 32syl3anc 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
3433adantr 261 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)) ↔ (0 ≤ (𝐵𝐴) ∧ (𝐵𝐴) < (𝐷𝐶))))
3511, 30, 34mpbir2and 851 . 2 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
3613, 35eqeltrd 2114 1 (((𝐴 ∈ (𝐶..^𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (𝐶..^𝐷)) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐵𝐴)) ∈ (0..^(𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  cr 6888  0cc0 6889   < clt 7060  cle 7061  cmin 7182  cz 8245  ..^cfzo 8999  abscabs 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597
This theorem is referenced by:  fzomaxdif  9709
  Copyright terms: Public domain W3C validator