ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzm1 Structured version   GIF version

Theorem fzm1 8732
Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzm1 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = 𝑁)))

Proof of Theorem fzm1
StepHypRef Expression
1 oveq1 5462 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑀 → (𝑁...𝑁) = (𝑀...𝑁))
21eleq2d 2104 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 (𝑁...𝑁) ↔ 𝐾 (𝑀...𝑁)))
3 elfz1eq 8669 . . . . . 6 (𝐾 (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
42, 3syl6bir 153 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 (𝑀...𝑁) → 𝐾 = 𝑁))
5 olc 631 . . . . 5 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = 𝑁))
64, 5syl6 29 . . . 4 (𝑁 = 𝑀 → (𝐾 (𝑀...𝑁) → (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = 𝑁)))
76adantl 262 . . 3 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 (𝑀...𝑁) → (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = 𝑁)))
8 noel 3222 . . . . . 6 ¬ 𝐾
9 eluzelz 8258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑁 ℤ)
109adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ℤ)
1110zred 8136 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 ℝ)
1211ltm1d 7679 . . . . . . . . 9 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
13 breq2 3759 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑀 → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1413adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) < 𝑀))
1512, 14mpbid 135 . . . . . . . 8 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) < 𝑀)
16 eluzel2 8254 . . . . . . . . . 10 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℤ)
1716adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → 𝑀 ℤ)
18 1zzd 8048 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → 1 ℤ)
1910, 18zsubcld 8141 . . . . . . . . 9 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → (𝑁 − 1) ℤ)
20 fzn 8676 . . . . . . . . 9 ((𝑀 (𝑁 − 1) ℤ) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2117, 19, 20syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → ((𝑁 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅))
2215, 21mpbid 135 . . . . . . 7 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
2322eleq2d 2104 . . . . . 6 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝐾 ∅))
248, 23mtbiri 599 . . . . 5 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → ¬ 𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)))
2524pm2.21d 549 . . . 4 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 (𝑀...𝑁)))
26 eluzfz2 8666 . . . . . . 7 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑁 (𝑀...𝑁))
2726ad2antrr 457 . . . . . 6 (((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 (𝑀...𝑁))
28 eleq1 2097 . . . . . . 7 (𝐾 = 𝑁 → (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 (𝑀...𝑁)))
2928adantl 262 . . . . . 6 (((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) 𝐾 = 𝑁) → (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 (𝑀...𝑁)))
3027, 29mpbird 156 . . . . 5 (((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 (𝑀...𝑁))
3130ex 108 . . . 4 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 = 𝑁𝐾 (𝑀...𝑁)))
3225, 31jaod 636 . . 3 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → ((𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 (𝑀...𝑁)))
337, 32impbid 120 . 2 ((𝑁 (ℤ𝑀) 𝑁 = 𝑀) → (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = 𝑁)))
34 elfzp1 8704 . . . 4 ((𝑁 − 1) (ℤ𝑀) → (𝐾 (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
3534adantl 262 . . 3 ((𝑁 (ℤ𝑀) (𝑁 − 1) (ℤ𝑀)) → (𝐾 (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1))))
369adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑁 (ℤ𝑀) (𝑁 − 1) (ℤ𝑀)) → 𝑁 ℤ)
3736zcnd 8137 . . . . . 6 ((𝑁 (ℤ𝑀) (𝑁 − 1) (ℤ𝑀)) → 𝑁 ℂ)
38 npcan1 7172 . . . . . 6 (𝑁 ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3937, 38syl 14 . . . . 5 ((𝑁 (ℤ𝑀) (𝑁 − 1) (ℤ𝑀)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4039oveq2d 5471 . . . 4 ((𝑁 (ℤ𝑀) (𝑁 − 1) (ℤ𝑀)) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
4140eleq2d 2104 . . 3 ((𝑁 (ℤ𝑀) (𝑁 − 1) (ℤ𝑀)) → (𝐾 (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) ↔ 𝐾 (𝑀...𝑁)))
4239eqeq2d 2048 . . . 4 ((𝑁 (ℤ𝑀) (𝑁 − 1) (ℤ𝑀)) → (𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1) ↔ 𝐾 = 𝑁))
4342orbi2d 703 . . 3 ((𝑁 (ℤ𝑀) (𝑁 − 1) (ℤ𝑀)) → ((𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = ((𝑁 − 1) + 1)) ↔ (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = 𝑁)))
4435, 41, 433bitr3d 207 . 2 ((𝑁 (ℤ𝑀) (𝑁 − 1) (ℤ𝑀)) → (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = 𝑁)))
45 uzm1 8279 . 2 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 (𝑁 − 1) (ℤ𝑀)))
4633, 44, 45mpjaodan 710 1 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝐾 (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 (𝑀...(𝑁 − 1)) 𝐾 = 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  c0 3218   class class class wbr 3755  cfv 4845  (class class class)co 5455  cc 6709  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857  cmin 6979  cz 8021  cuz 8249  ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator