Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzind GIF version

Theorem fzind 8129
 Description: Induction on the integers from 𝑀 to 𝑁 inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind.1 (x = 𝑀 → (φψ))
fzind.2 (x = y → (φχ))
fzind.3 (x = (y + 1) → (φθ))
fzind.4 (x = 𝐾 → (φτ))
fzind.5 ((𝑀 𝑁 𝑀𝑁) → ψ)
fzind.6 (((𝑀 𝑁 ℤ) (y 𝑀y y < 𝑁)) → (χθ))
Assertion
Ref Expression
fzind (((𝑀 𝑁 ℤ) (𝐾 𝑀𝐾 𝐾𝑁)) → τ)
Distinct variable groups:   x,𝐾   x,𝑀,y   x,𝑁,y   χ,x   φ,y   ψ,x   τ,x   θ,x
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   χ(y)   θ(y)   τ(y)   𝐾(y)

Proof of Theorem fzind
StepHypRef Expression
1 breq1 3758 . . . . . . . . . . 11 (x = 𝑀 → (x𝑁𝑀𝑁))
21anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (x = 𝑀 → ((𝑁 x𝑁) ↔ (𝑁 𝑀𝑁)))
3 fzind.1 . . . . . . . . . 10 (x = 𝑀 → (φψ))
42, 3imbi12d 223 . . . . . . . . 9 (x = 𝑀 → (((𝑁 x𝑁) → φ) ↔ ((𝑁 𝑀𝑁) → ψ)))
5 breq1 3758 . . . . . . . . . . 11 (x = y → (x𝑁y𝑁))
65anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (x = y → ((𝑁 x𝑁) ↔ (𝑁 y𝑁)))
7 fzind.2 . . . . . . . . . 10 (x = y → (φχ))
86, 7imbi12d 223 . . . . . . . . 9 (x = y → (((𝑁 x𝑁) → φ) ↔ ((𝑁 y𝑁) → χ)))
9 breq1 3758 . . . . . . . . . . 11 (x = (y + 1) → (x𝑁 ↔ (y + 1) ≤ 𝑁))
109anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (x = (y + 1) → ((𝑁 x𝑁) ↔ (𝑁 (y + 1) ≤ 𝑁)))
11 fzind.3 . . . . . . . . . 10 (x = (y + 1) → (φθ))
1210, 11imbi12d 223 . . . . . . . . 9 (x = (y + 1) → (((𝑁 x𝑁) → φ) ↔ ((𝑁 (y + 1) ≤ 𝑁) → θ)))
13 breq1 3758 . . . . . . . . . . 11 (x = 𝐾 → (x𝑁𝐾𝑁))
1413anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (x = 𝐾 → ((𝑁 x𝑁) ↔ (𝑁 𝐾𝑁)))
15 fzind.4 . . . . . . . . . 10 (x = 𝐾 → (φτ))
1614, 15imbi12d 223 . . . . . . . . 9 (x = 𝐾 → (((𝑁 x𝑁) → φ) ↔ ((𝑁 𝐾𝑁) → τ)))
17 fzind.5 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 𝑁 𝑀𝑁) → ψ)
18173expib 1106 . . . . . . . . 9 (𝑀 ℤ → ((𝑁 𝑀𝑁) → ψ))
19 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . 14 (y ℤ → y ℝ)
20 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
21 p1le 7596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((y 𝑁 (y + 1) ≤ 𝑁) → y𝑁)
22213expia 1105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y 𝑁 ℝ) → ((y + 1) ≤ 𝑁y𝑁))
2319, 20, 22syl2an 273 . . . . . . . . . . . . 13 ((y 𝑁 ℤ) → ((y + 1) ≤ 𝑁y𝑁))
2423imdistanda 422 . . . . . . . . . . . 12 (y ℤ → ((𝑁 (y + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 y𝑁)))
2524imim1d 69 . . . . . . . . . . 11 (y ℤ → (((𝑁 y𝑁) → χ) → ((𝑁 (y + 1) ≤ 𝑁) → χ)))
26253ad2ant2 925 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 y 𝑀y) → (((𝑁 y𝑁) → χ) → ((𝑁 (y + 1) ≤ 𝑁) → χ)))
27 zltp1le 8074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((y 𝑁 ℤ) → (y < 𝑁 ↔ (y + 1) ≤ 𝑁))
2827adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((y 𝑀y) 𝑁 ℤ) → (y < 𝑁 ↔ (y + 1) ≤ 𝑁))
2928expcom 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ℤ → ((y 𝑀y) → (y < 𝑁 ↔ (y + 1) ≤ 𝑁)))
3029pm5.32d 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ℤ → (((y 𝑀y) y < 𝑁) ↔ ((y 𝑀y) (y + 1) ≤ 𝑁)))
3130adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (((y 𝑀y) y < 𝑁) ↔ ((y 𝑀y) (y + 1) ≤ 𝑁)))
32 fzind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 𝑁 ℤ) (y 𝑀y y < 𝑁)) → (χθ))
3332expcom 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((y 𝑀y y < 𝑁) → ((𝑀 𝑁 ℤ) → (χθ)))
34333expa 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((y 𝑀y) y < 𝑁) → ((𝑀 𝑁 ℤ) → (χθ)))
3534com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (((y 𝑀y) y < 𝑁) → (χθ)))
3631, 35sylbird 159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (((y 𝑀y) (y + 1) ≤ 𝑁) → (χθ)))
3736ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ℤ → (𝑁 ℤ → (((y 𝑀y) (y + 1) ≤ 𝑁) → (χθ))))
3837com23 72 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ℤ → (((y 𝑀y) (y + 1) ≤ 𝑁) → (𝑁 ℤ → (χθ))))
3938expd 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ℤ → ((y 𝑀y) → ((y + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ℤ → (χθ)))))
40393impib 1101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 y 𝑀y) → ((y + 1) ≤ 𝑁 → (𝑁 ℤ → (χθ))))
4140com23 72 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 y 𝑀y) → (𝑁 ℤ → ((y + 1) ≤ 𝑁 → (χθ))))
4241impd 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 y 𝑀y) → ((𝑁 (y + 1) ≤ 𝑁) → (χθ)))
4342a2d 23 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 y 𝑀y) → (((𝑁 (y + 1) ≤ 𝑁) → χ) → ((𝑁 (y + 1) ≤ 𝑁) → θ)))
4426, 43syld 40 . . . . . . . . 9 ((𝑀 y 𝑀y) → (((𝑁 y𝑁) → χ) → ((𝑁 (y + 1) ≤ 𝑁) → θ)))
454, 8, 12, 16, 18, 44uzind 8125 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝐾 𝑀𝐾) → ((𝑁 𝐾𝑁) → τ))
4645expcomd 1327 . . . . . . 7 ((𝑀 𝐾 𝑀𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝑁 ℤ → τ)))
47463expb 1104 . . . . . 6 ((𝑀 (𝐾 𝑀𝐾)) → (𝐾𝑁 → (𝑁 ℤ → τ)))
4847expcom 109 . . . . 5 ((𝐾 𝑀𝐾) → (𝑀 ℤ → (𝐾𝑁 → (𝑁 ℤ → τ))))
4948com23 72 . . . 4 ((𝐾 𝑀𝐾) → (𝐾𝑁 → (𝑀 ℤ → (𝑁 ℤ → τ))))
50493impia 1100 . . 3 ((𝐾 𝑀𝐾 𝐾𝑁) → (𝑀 ℤ → (𝑁 ℤ → τ)))
5150impd 242 . 2 ((𝐾 𝑀𝐾 𝐾𝑁) → ((𝑀 𝑁 ℤ) → τ))
5251impcom 116 1 (((𝑀 𝑁 ℤ) (𝐾 𝑀𝐾 𝐾𝑁)) → τ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857   ≤ cle 6858  ℤcz 8021 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022 This theorem is referenced by:  fnn0ind  8130  fzind2  8865
 Copyright terms: Public domain W3C validator