ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzdisj GIF version

Theorem fzdisj 8883
Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzdisj (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzdisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3123 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2 elfzel1 8856 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
32adantl 262 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
43zred 8332 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 elfzelz 8857 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
65zred 8332 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
76adantl 262 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 elfzel2 8855 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
98adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
109zred 8332 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11 elfzle1 8858 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑥)
1211adantl 262 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑥)
13 elfzle2 8859 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥𝐾)
1413adantr 261 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝐾)
154, 7, 10, 12, 14letrd 7118 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐾)
164, 10lenltd 7114 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑀))
1715, 16mpbid 135 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
181, 17sylbi 114 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
1918con2i 557 . 2 (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)))
2019eq0rdv 3258 1 (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  cin 2913  c0 3221   class class class wbr 3761  (class class class)co 5499  cr 6869   < clt 7040  cle 7041  cz 8217  ...cfz 8841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-cnex 6956  ax-resscn 6957  ax-pre-ltwlin 6978
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-id 4027  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-fv 4897  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-pnf 7042  df-mnf 7043  df-xr 7044  df-ltxr 7045  df-le 7046  df-neg 7165  df-z 8218  df-uz 8446  df-fz 8842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator