ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzass4 Structured version   GIF version

Theorem fzass4 8695
Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzass4 ((B (A...𝐷) 𝐶 (B...𝐷)) ↔ (B (A...𝐶) 𝐶 (A...𝐷)))

Proof of Theorem fzass4
StepHypRef Expression
1 simpll 481 . . . . 5 (((B (ℤA) 𝐷 (ℤB)) (𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶))) → B (ℤA))
2 simprl 483 . . . . 5 (((B (ℤA) 𝐷 (ℤB)) (𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶))) → 𝐶 (ℤB))
31, 2jca 290 . . . 4 (((B (ℤA) 𝐷 (ℤB)) (𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶))) → (B (ℤA) 𝐶 (ℤB)))
4 uztrn 8265 . . . . . 6 ((𝐶 (ℤB) B (ℤA)) → 𝐶 (ℤA))
54ancoms 255 . . . . 5 ((B (ℤA) 𝐶 (ℤB)) → 𝐶 (ℤA))
65ad2ant2r 478 . . . 4 (((B (ℤA) 𝐷 (ℤB)) (𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶))) → 𝐶 (ℤA))
7 simprr 484 . . . 4 (((B (ℤA) 𝐷 (ℤB)) (𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶))) → 𝐷 (ℤ𝐶))
83, 6, 7jca32 293 . . 3 (((B (ℤA) 𝐷 (ℤB)) (𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶))) → ((B (ℤA) 𝐶 (ℤB)) (𝐶 (ℤA) 𝐷 (ℤ𝐶))))
9 simpll 481 . . . . 5 (((B (ℤA) 𝐶 (ℤB)) (𝐶 (ℤA) 𝐷 (ℤ𝐶))) → B (ℤA))
10 uztrn 8265 . . . . . . 7 ((𝐷 (ℤ𝐶) 𝐶 (ℤB)) → 𝐷 (ℤB))
1110ancoms 255 . . . . . 6 ((𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶)) → 𝐷 (ℤB))
1211ad2ant2l 477 . . . . 5 (((B (ℤA) 𝐶 (ℤB)) (𝐶 (ℤA) 𝐷 (ℤ𝐶))) → 𝐷 (ℤB))
139, 12jca 290 . . . 4 (((B (ℤA) 𝐶 (ℤB)) (𝐶 (ℤA) 𝐷 (ℤ𝐶))) → (B (ℤA) 𝐷 (ℤB)))
14 simplr 482 . . . 4 (((B (ℤA) 𝐶 (ℤB)) (𝐶 (ℤA) 𝐷 (ℤ𝐶))) → 𝐶 (ℤB))
15 simprr 484 . . . 4 (((B (ℤA) 𝐶 (ℤB)) (𝐶 (ℤA) 𝐷 (ℤ𝐶))) → 𝐷 (ℤ𝐶))
1613, 14, 15jca32 293 . . 3 (((B (ℤA) 𝐶 (ℤB)) (𝐶 (ℤA) 𝐷 (ℤ𝐶))) → ((B (ℤA) 𝐷 (ℤB)) (𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶))))
178, 16impbii 117 . 2 (((B (ℤA) 𝐷 (ℤB)) (𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶))) ↔ ((B (ℤA) 𝐶 (ℤB)) (𝐶 (ℤA) 𝐷 (ℤ𝐶))))
18 elfzuzb 8654 . . 3 (B (A...𝐷) ↔ (B (ℤA) 𝐷 (ℤB)))
19 elfzuzb 8654 . . 3 (𝐶 (B...𝐷) ↔ (𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶)))
2018, 19anbi12i 433 . 2 ((B (A...𝐷) 𝐶 (B...𝐷)) ↔ ((B (ℤA) 𝐷 (ℤB)) (𝐶 (ℤB) 𝐷 (ℤ𝐶))))
21 elfzuzb 8654 . . 3 (B (A...𝐶) ↔ (B (ℤA) 𝐶 (ℤB)))
22 elfzuzb 8654 . . 3 (𝐶 (A...𝐷) ↔ (𝐶 (ℤA) 𝐷 (ℤ𝐶)))
2321, 22anbi12i 433 . 2 ((B (A...𝐶) 𝐶 (A...𝐷)) ↔ ((B (ℤA) 𝐶 (ℤB)) (𝐶 (ℤA) 𝐷 (ℤ𝐶))))
2417, 20, 233bitr4i 201 1 ((B (A...𝐷) 𝐶 (B...𝐷)) ↔ (B (A...𝐶) 𝐶 (A...𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   wcel 1390  cfv 4845  (class class class)co 5455  cuz 8249  ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltwlin 6796
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator