Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funprg Structured version   GIF version

Theorem funprg 4892
 Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
funprg (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → Fun {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprg
StepHypRef Expression
1 simp1l 927 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → A 𝑉)
2 simp2l 929 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → 𝐶 𝑋)
3 funsng 4889 . . . 4 ((A 𝑉 𝐶 𝑋) → Fun {⟨A, 𝐶⟩})
41, 2, 3syl2anc 391 . . 3 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → Fun {⟨A, 𝐶⟩})
5 simp1r 928 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → B 𝑊)
6 simp2r 930 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → 𝐷 𝑌)
7 funsng 4889 . . . 4 ((B 𝑊 𝐷 𝑌) → Fun {⟨B, 𝐷⟩})
85, 6, 7syl2anc 391 . . 3 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → Fun {⟨B, 𝐷⟩})
9 dmsnopg 4735 . . . . . 6 (𝐶 𝑋 → dom {⟨A, 𝐶⟩} = {A})
102, 9syl 14 . . . . 5 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → dom {⟨A, 𝐶⟩} = {A})
11 dmsnopg 4735 . . . . . 6 (𝐷 𝑌 → dom {⟨B, 𝐷⟩} = {B})
126, 11syl 14 . . . . 5 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → dom {⟨B, 𝐷⟩} = {B})
1310, 12ineq12d 3133 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → (dom {⟨A, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨B, 𝐷⟩}) = ({A} ∩ {B}))
14 disjsn2 3424 . . . . 5 (AB → ({A} ∩ {B}) = ∅)
15143ad2ant3 926 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → ({A} ∩ {B}) = ∅)
1613, 15eqtrd 2069 . . 3 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → (dom {⟨A, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨B, 𝐷⟩}) = ∅)
17 funun 4887 . . 3 (((Fun {⟨A, 𝐶⟩} Fun {⟨B, 𝐷⟩}) (dom {⟨A, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨B, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩}))
184, 8, 16, 17syl21anc 1133 . 2 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → Fun ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩}))
19 df-pr 3374 . . 3 {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})
2019funeqi 4865 . 2 (Fun {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩}))
2118, 20sylibr 137 1 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → Fun {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201   ∪ cun 2909   ∩ cin 2910  ∅c0 3218  {csn 3367  {cpr 3368  ⟨cop 3370  dom cdm 4288  Fun wfun 4839 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847 This theorem is referenced by:  funtpg  4893  funpr  4894  fnprg  4897
 Copyright terms: Public domain W3C validator