ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funprg GIF version

Theorem funprg 4895
Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
funprg (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → Fun {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprg
StepHypRef Expression
1 simp1l 928 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → A 𝑉)
2 simp2l 930 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → 𝐶 𝑋)
3 funsng 4892 . . . 4 ((A 𝑉 𝐶 𝑋) → Fun {⟨A, 𝐶⟩})
41, 2, 3syl2anc 391 . . 3 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → Fun {⟨A, 𝐶⟩})
5 simp1r 929 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → B 𝑊)
6 simp2r 931 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → 𝐷 𝑌)
7 funsng 4892 . . . 4 ((B 𝑊 𝐷 𝑌) → Fun {⟨B, 𝐷⟩})
85, 6, 7syl2anc 391 . . 3 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → Fun {⟨B, 𝐷⟩})
9 dmsnopg 4738 . . . . . 6 (𝐶 𝑋 → dom {⟨A, 𝐶⟩} = {A})
102, 9syl 14 . . . . 5 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → dom {⟨A, 𝐶⟩} = {A})
11 dmsnopg 4738 . . . . . 6 (𝐷 𝑌 → dom {⟨B, 𝐷⟩} = {B})
126, 11syl 14 . . . . 5 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → dom {⟨B, 𝐷⟩} = {B})
1310, 12ineq12d 3136 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → (dom {⟨A, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨B, 𝐷⟩}) = ({A} ∩ {B}))
14 disjsn2 3427 . . . . 5 (AB → ({A} ∩ {B}) = ∅)
15143ad2ant3 927 . . . 4 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → ({A} ∩ {B}) = ∅)
1613, 15eqtrd 2072 . . 3 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → (dom {⟨A, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨B, 𝐷⟩}) = ∅)
17 funun 4890 . . 3 (((Fun {⟨A, 𝐶⟩} Fun {⟨B, 𝐷⟩}) (dom {⟨A, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨B, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩}))
184, 8, 16, 17syl21anc 1134 . 2 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → Fun ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩}))
19 df-pr 3377 . . 3 {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})
2019funeqi 4868 . 2 (Fun {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩}))
2118, 20sylibr 137 1 (((A 𝑉 B 𝑊) (𝐶 𝑋 𝐷 𝑌) AB) → Fun {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 885   = wceq 1243   wcel 1393  wne 2204  cun 2912  cin 2913  c0 3221  {csn 3370  {cpr 3371  cop 3373  dom cdm 4291  Fun wfun 4842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3869  ax-pow 3921  ax-pr 3938
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-br 3759  df-opab 3813  df-id 4024  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-fun 4850
This theorem is referenced by:  funtpg  4896  funpr  4897  fnprg  4900
  Copyright terms: Public domain W3C validator