Theorem funprg 4949

Description: A set of two pairs is a function if their first members are different. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Proof of Theorem funprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 928	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		simp2l 930	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑋)
3		funsng 4946	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
4	1, 2, 3	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩})
5		simp1r 929	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		simp2r 931	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑌)
7		funsng 4946	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
8	5, 6, 7	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩})
9		dmsnopg 4792	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
10	2, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} = {𝐴})
11		dmsnopg 4792	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → dom {⟨𝐵, 𝐷⟩} = {𝐵})
13	10, 12	ineq12d 3139	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ({𝐴} ∩ {𝐵}))
14		disjsn2 3433	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
15	14	3ad2ant3 927	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
16	13, 15	eqtrd 2072	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅)
17		funun 4944	. . 3 ⊢ (((Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∧ Fun {⟨𝐵, 𝐷⟩}) ∧ (dom {⟨𝐴, 𝐶⟩} ∩ dom {⟨𝐵, 𝐷⟩}) = ∅) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
18	4, 8, 16, 17	syl21anc 1134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
19		df-pr 3382	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
20	19	funeqi 4922	. 2 ⊢ (Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} ↔ Fun ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩}))
21	18, 20	sylibr 137	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204   ∪ cun 2915   ∩ cin 2916  ∅c0 3224  {csn 3375  {cpr 3376  ⟨cop 3378  dom cdm 4345  Fun wfun 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-fun 4904

This theorem is referenced by:  funtpg  4950  funpr  4951  fnprg  4954